La intervale numerice, intervale, și razele intervale numite intervale numerice
Luați în considerare linia numărul (a se vedea figura 6)
Luați în considerare setul de numere raționale
Fiecare număr rațional este reprezentat printr-un punct de pe axa reală. Astfel, în figură marcată cu numere.
Dovada. Să presupunem că există o fracție. . Suntem îndreptățiți să presupunem că această fracțiune este ireductibilă. Din moment. apoi - numărul este chiar - ciudat. Substituind pentru exprimarea sa, ne găsim. ceea ce implică faptul că - un număr par. Am obținut o contradicție, ceea ce dovedește afirmația.
Deci, nu toate punctele de axa reală reprezintă numere raționale. Acești termeni, care nu reprezintă numere raționale reprezintă numărul de numit irațional.
Orice număr de specii. . Acesta este fie un număr întreg sau irațional.
intervale numerice, intervale, intervalele și raze sunt numite intervale numerice.
Inegalitățile care sunt date interval numeric
numerică a perioadei
grindă numerică în aer liber de la minus infinit la o
Să se reprezinte pe axa de coordonate și un număr de b. și numărul x ele.
Setul de numere care corespund condiției unui ≤ x ≤ b. Se numește segment segment iliprosto numeric. Denumit ca: [a; b] -CITEȘTE după cum urmează: segment de la b.
Setul de numere care să îndeplinească o condiție Se poate citi: intervalul de la A la B. O multitudine de numere care îndeplinesc condițiile unei ≤ x
Setați o ≤ x
o mulțime de Acum, imaginați-vă un fascicul cu un punct a. dreapta și la stânga din care - un set de numere. Setul de numere la dreapta punctului a. care corespunde stării x ≥ a. Se numește ray numerică. Denumit ca: [a; + ∞) -CITEȘTE aceasta: raza numerică de la o la infinit pozitiv. Setul de numere la dreapta punctului a. corespunzând inegalității x> a. Se numește ray numerică deschisă. Denumit ca: (a; + ∞) -citire fasciculului numeric astfel încât în aer liber de la un plus la infinit. Setul de numere la stânga litera a. care corespunde stării x ≤ a. Se numește grindă numerică de la DOA minus infinit. Denumit ca: (- ∞, a] -citire după cum urmează: grindă numerică de la minus infinit la un. Setul de numere la stânga litera a. corespunzând inegalității x Denumit ca: (- ∞; a) -citire fascicul numeric astfel încât în aer liber de la minus infinit la un. Setul tuturor numerelor reale reprezentate de axa de coordonate. Acesta se numește linia de număr. Desemnat ca: (- ∞ + ∞) 3) Ecuații liniare și inegalitățile într-o singură variabilă, rezolvarea acestora: Egalitatea, care cuprinde o variabilă numită o ecuație cu o singură variabilă sau o ecuație cu o singură necunoscută. De exemplu, o ecuație cu o singură variabilă este ecuația 3 (2x + 7) = 4-1. Rădăcina sau soluția ecuației este valoarea variabilei pentru care ecuația devine adevărată egalitate numerică. De exemplu, numărul 1 este o soluție de 2 + 5 = 8x-1. Ecuația x2 + 1 = 0 nu are nici o soluție, deoarece partea stângă a ecuației este întotdeauna mai mare decât zero. Ecuația (x + 3) (4-x) = 0 are două rădăcini: x1 = 3, x2 = 4. Rezolva ecuația - înseamnă a găsi toate rădăcinile sale sau pentru a dovedi că rădăcinile nu. Ecuațiile se numesc echipotente dacă toate rădăcinile prima ecuație sunt rădăcinile a doua ecuație, și invers, toate rădăcinile a doua ecuație sunt rădăcinile prima ecuație sau, dacă ambele ecuații nu au rădăcini. De exemplu, ecuația x = 8 și 2 x 20 + 10 = echivalent, deoarece rădăcina prima ecuație x = 10 este rădăcina și a doua ecuație, ambele ecuații au una rădăcină. Următoarele proprietăți sunt utilizate pentru a rezolva ecuațiile: Dacă ecuația pentru a trece termenul dintr-o parte în alta, schimbarea semnul său, atunci veți obține ecuația care sunt echivalente cu acest lucru. În cazul în care ambele părți ale ecuației înmulțit sau împărțit la același număr de zero, veți obține o ecuație echivalentă cu acest lucru. Ecuația ax = b, unde x - variabila, a și b - sunt numere, se numește o ecuație liniară cu o singură variabilă. Dacă a¹0, atunci ecuația are o soluție unică. Dacă a = 0, b = 0, atunci ecuația satisface orice valoare a lui x. Dacă a = 0, b¹0, atunci ecuația nu are nici o soluție, întrucât 0x = b nu este satisfăcută pentru orice valoare a variabilei. Să ne deschidem parantezele de pe ambele părți ale ecuației, se transferă toți termenii cu x în partea stângă a ecuației, iar termenii nu conțin x, pe partea dreapta, obținem: Exemplul 2: rezolva ecuația: Aceste ecuații nu sunt liniare, dar arată cum să rezolve astfel de ecuații. 3h2-5h = 0; x (3-5) = 0. Lucrare este zero dacă unul dintre factorii este zero, obținem x1 = 0; x2 =. Pentru factor partea stângă a ecuației: x2 (x2) -9 (x2) = (x2) (h2-9) = (x2) (3-x) (x-3), adică, (X-2), (x-3) (x + 3) = 0. Acest lucru arată că soluțiile acestei ecuații sunt x1 = 2, x2 = 3, și x3 = -3. c) Să se reprezinte 7x ca 3 + 4, atunci avem: x2 + 3 + 4 + 12 = 0, x (x + 3) + 4 (x + 3) = 0, (x + 3) (x + 4) = 0, deci x1 = 3, x2 = - 4. Răspuns: -3; - 4. Să ne amintim definiția modulului: De exemplu: ½3½ = 3, ½0½ = 0, ½- 4½ = 4. În această ecuație, semnul modulului sunt numerele x 1 și x + 1. Dacă x este mai mică decât -1, numărul x + 1 este negativ, + 1 ½ = jumătate de oră -x-1. Dacă x> -1, apoi + 1 ½ = jumătate de oră x + 1. Pentru x = -1 + 1 ½ = jumătate de oră 0. a) ia în considerare acest uravnenie½h + 1½ +-1½ = ^ H 3 cand -1 x £, este echivalentă cu ecuația -x-x-1 + 1 = 3, -2x = 3, x =. acest număr aparține setului X £ -1. b) Să -1 <х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве. c) Să considerăm cazul x> 1. + X + 1 x 1 = 3, 2 = 3, x =. Ea aparține numărul setat x> 1. Răspuns: x1 = -1.5; x2 = 1,5. Vom arăta o formă scurtă a soluției ecuației, dezvăluind semnul „lacunelor“ ale modulului. x £ -2, - (x + 2) = -2 -3 H (x-1) - 4 = 4, x = -2Î(- ¥; -2] -2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0] 0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1] x> 1, x + 2 + 3 = 2 (x-1) = 2 - 4, x = -2Ï(1 + ¥) A: [-2; 0] În această ecuație de fapt două variabile, să zicem x, dar necunoscut, și bine-parametru. Necesare pentru a rezolva ecuația cu privire la x, pentru orice valoare a parametrului a. Dacă a = 1, atunci ecuația are forma 0 x x = 0, această ecuație este satisfăcută orice număr. Dacă a = 1, atunci ecuația are forma 0 x x = 2, această ecuație nu satisface orice număr. Dacă a¹1, a¹1, atunci ecuația are o soluție unică. Răspuns: Dacă, atunci x = 1 - orice număr; în cazul în care a = 1, atunci nu există soluții; B) inegalitățile liniare într-o singură variabilă. Dacă variabila x pentru a da orice valoare numerică, obținem inegalitatea numerică, exprimând fie o afirmație adevărată sau falsă. Să presupunem, de exemplu, având în vedere inegalitatea 5x-1> 3 + 2. Când x = 2 obținem 5 · 2.1> 3 · 2 + 2 - declarație adevărată (vorbire numerică corectă); când x = 0 obținem 5 · 0-1> 3 · 0 + 2 - o declarație falsă. Orice valoare a variabilei la care această variabilă inegalitate devine adevărată inegalitate numerică se numește o soluție de inegalitate. Rezolva variabila inegalitate - înseamnă a găsi setul tuturor deciziilor sale. Două inegalități cu o singură variabilă x este declarat a fi echivalente dacă setul de soluții ale acestor inegalități coincid. Ideea de bază a soluției de inegalitate este urmatoarea: înlocuim această inegalitate este o alta, mai simplă, dar echivalentă până în prezent; inegalitatea rezultată este din nou înlocuită cu inegalitatea echivalentă mai simplu pentru el, etc. Astfel de substituții sunt făcute pe baza următoarelor afirmații. Teorema 1. În cazul în care oricare membru al inegalității cu o singură variabilă pentru a trece dintr-o parte a celuilalt cu semnul opus, lăsând neschimbat semnul inegalității, obținem inegalitatea este echivalentă cu acest lucru. Teorema 2. Dacă ambele părți ale unei variabile multiplicate sau împărțit același număr pozitiv, în timp ce lăsând neschimbat semnul inegalității, obținem o inegalitate echivalentă cu acest lucru. Teorema 3. Dacă ambele părți ale inegalității cu o singură variabilă multiplicată sau împărțit același număr negativ, schimbarea semnului de inegalitate este inversată, obținem inegalitatea este echivalentă cu acest lucru. Liniar inegalitate numit tip ax + b> 0 (respectiv, ax + b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше. Exemplul 1. Rezolva inegalitățile 2 (x-3) 5 (1-x) ³3 (2h-5). Scoaterea paranteze, vom obține 2x + 6 5-5h³6h-15 Exemplul 2. Rezolvarea inegalității. Gratuit de la numitorii, care multiplica ambele părți ale unui număr pozitiv 6, lăsând neschimbat semnul inegalității. . obține mai consistent; . Ultima inegalitate este adevărată pentru orice valoare a lui x, deoarece pentru orice valoare a variabilei x se obține o adevărată declarație 0> -55. Prin urmare, o mulțime de decizii sale este întreaga linie reală. Exemplul 3. Rezolva inegalitatea:-o jumătate de oră 1½<3. Pe baza acestei inegalități modul de determinare poate fi scrisă ca o combinație a două sisteme de inegalități rezolvarea acestui set obținem (2), astfel încât o soluție din această inegalitate este intervalul (-2, 4). Exemplul 4. Rezolva inegalitatea: + 1 ½ jumătate de oră> 2. aici x> 0.5 a primului sistem și al doilea sistem - nu soluții. 4) ecuațiile pătratice (complete și incomplete), decizia lor: Numerele se numesc coeficienții ecuației pătratice. Ecuația pătratic de mai sus - ecuația formei. un prim coeficient care este egal cu unu (). Dacă ecuația de gradul doi și coeficienții sunt non-zero, atunci ecuația se numește ecuație pătratică completă. De exemplu, Eq. Dacă unul dintre coeficienții zero sau coeficient sau ambii sunt egale cu zero, o ecuație pătratică este numit incomplet. De exemplu, .value necunoscut. în care ecuația de gradul doi devine adevărată egalitate numerică se numește rădăcina acestei ecuații. De exemplu, valoarea este o rădăcină a unei ecuații pătratice. sau pentru că - aceasta este corectă numerică ravenstvo.Reshit ecuația de gradul doi - inseamna mult pentru a găsi rădăcinile sale.
Exemplul 1. Rezolvați ecuația: -8 (11-2h) + 40 = 3 (4-5x)
Exemplul 3. Rezolvați ecuația: 1 + jumătate de orăç+ 1-o jumătate de orăç= 3.
Exemplul 4. Rezolvați ecuația: + 2 ½ + jumătate de oră = 3½h½-1½ 2 ^ h.
Exemplul 5 rezolva ecuația: (a-1) (a + 1) = x (a-1) (a + 2) pentru toate valorile parametrului a.
Răspuns: (0,5; + ¥)