Integrale absolut convergente

29.5. Integrale absolut convergente

Ca mai sus, presupunem că funcția f este definită pe intervalul [a, b); - Definiție 2. improprie f integral (x) dx se numește absolut convergente. în cazul în care integrala | f (x) | dx.
Teorema 3 (convergenta criteriului Cauchy integral absolut). La integralf (x) converge dxabsolyutno. necesare și suficiente. că pentru orice> 0, există o<

Aplicarea criteriului de convergență Cauchy a integralei necorespunzătoare (Teorema 2) integralei | f (x) | dx. Obținem situația Teorema 3.

Teorema 4. În cazul în care integrala improprie converge absolut. ea și doar du-te.
Dacă f integral (x) dx este absolut convergentă, în conformitate cu condițiile de necesitate absolută Cauchy criteriu de convergență pentru fiecare parte integrantă> Există un 0, o<

În virtutea suficienței condițiile criteriului Cauchy pentru convergența integralei în (29,28) și (29,31) implică convergența integralei

În cazul integralei funcției valoare absolută converge, este numit un absolut integrabilă (în sens impropriu) care corespunde diferenței.
Teorema 4 arată că, în cazul în care o funcție este absolut integrabilă, atunci pur și simplu este integrabil în sens impropriu. Reciproca nu este adevărat. Într-adevăr, ia în considerare integrala

În primul rând, dacă vă extinde definiția integrandul la x = 0 unitate, din moment ce
= 1, funcția rezultată va fi continuu și, deci Riemann integrabila pe orice segment [0]> 0. Prin urmare, determinarea (29.1) integrală improprie (29,32) are sens. In plus, integrala (29,32) converge sau diverge cu integral

Pentru a clarifica convergența acestei integrale integram de părți: în cazul în care, ca rezultat se obțin expresii care fac sens și presupune o valoare finită, va fi justificarea posibilității de integrare de către părți, și va însemna convergența integralei (29.33). avem