independentă de testare repetată

Repetate de testare independente. formula Bernoulli.

Luați în considerare cazul de mai multe repetiții ale aceluiași test sau experiment aleator. Rezultatul fiecărui test va fi considerată ca fiind independentă de ceea ce rezultatul a venit în testele anterioare. Deoarece rezultatele sau rezultatele fiecărei încercări elementare individuale vor distinge doar două posibilități:

1) Apariția unui eveniment A;

2) apariție a unui eveniment

1AppDataLocalTempmsohtmlclip1 „>, (evenimente sunt adăugarea de A)

Să probabilitatea P (A) apariția unui eveniment A este constantă și egală cu p (0 n q n-x, indiferent de ordinea în care aceste unități intercalați x și n-x zerouri.

Toate evenimentele, care constă în faptul că în n cadrul studiilor evenimentului A avut loc de x ori și evenimentul

1AppDataLocalTempmsohtmlclip1 „> sa produs n-x ori sunt incompatibile. Prin urmare, pentru a calcula probabilitatea de integrare a acestor evenimente (sau suma acestor evenimente) necesare pentru a combina probabilitățile tuturor acestor evenimente, fiecare dintre care este egal cu p n q n-x 1AppDataLocalTempmsohtmlclip1 „>. Numărul acestor evenimente pot fi luate în considerare cât mai multe posibil pentru a forma diferite secvențe de lungime n, conținând x cifre“ 1 „și n-x a numerelor“ 0 „O astfel de secvență este obținut ca număr de moduri de a plasa x numere“ 1 „( sau n-x de numere „0“) la n locații, adică numărul acestor secvențe este Prin urmare, formula Bernoulli:

Pn (x) =

Conform ecuației lui Bernoulli se calculează probabilitatea evenimentului A „x“ ori n repetate în studii independente, unde p - probabilitatea de apariție a unui eveniment A într-un test, q - probabilitatea de apariție a evenimentului 1AppDataLocalTempmsohtmlclip1 „> în același test.

condițiile de testare Formulat sunt uneori denumite „schema de studii independente repetate“ sau „schema Bernoulli“

numărul X de apariții ale evenimentului A în n repetate studii independente se numește frecvență.

Exemplu. Din urna care conține 2 bile albe și negre 6, selectate la întâmplare cu revenirea 5 consecutive o minge. Calculați probabilitatea care apare de 4 ori mingea albă.

În notația n sus = 8; p = 1/4; q = 3/4; x = 5. Probabilitatea dorită este calculată conform formulei lui Bernoulli:

Conform formulei lui Bernoulli poate calcula probabilitățile tuturor frecvențelor posibile: x = 0,1,2,3,4,5.

formula Bernoulli când p și n numere predeterminate permite să se calculeze probabilitatea de orice x frecvență (0 £ x £ n). Problema în mod natural ia naștere, ce frecvență va corespunde cel mai probabil?

Să presupunem că există o astfel de frecvență, și va încerca să se determine din condiția ca probabilitatea pentru această frecvență nu este mai mică decât probabilitatea „anterioare“ și „în aval“ frecvențe:

Prima inegalitate (*) este reprezentat ca:

care este echivalentă cu

1AppDataLocalTempmsohtmlclip1 „> sau . 1AppDataLocalTempmsohtmlclip1 „> De aici:

Rezolvarea a doua inegalitate (1), obținem

Astfel, frecvența cu cea mai mare probabilitate (frecvența cea mai probabilă) determinată de inegalitatea dublă

Dacă np + p - întreg (dacă și np-q - un număr întreg), cele două frecvențe: x = np-q și x = n p + p are cea mai mare probabilitate.

1. În fiecare zi, acțiuni ale societății ABC creșterea prețului sau scăderea prețului cu un punct, cu probabilități de 0,75 și, respectiv, 0,25. Găsiți probabilitatea ca acțiunile după șase zile înapoi la prețul inițial. Acceptați condiția ca prețul de vînzare se schimbă în sus și în jos - evenimente independente.

Decizie. Pentru a susține acțiunile timp de 6 zile, la prețul inițial, este necesar ca în această perioadă au crescut de 3 ori prețul și de trei ori în preț. Probabilitatea cerută este calculată din Bernoulli

2. Motoarele aeronavei în timpul zborului nu reușesc la motoare, în mod independent unul față de celălalt, cu probabilitatea p. aeronave continuă să zboare la motoare, dacă lucrați cel puțin jumătate din motoarele sale. Pentru ce valori ale p aeronave cu doua motoare mai fiabile avion cu patru motoare?

Decizie. Twin-motor de accidente de avion, în cazul în care a negat ambele motorului său. Acest lucru se produce cu probabilitate p 2 accidente de aeronave cu patru motoare, dacă nu toate motorul 4 și acest lucru are loc cu probabilitatea p sau 4. nu trei motoare de 4. Probabilitatea ca acest ultim caz se calculează conform formulei lui Bernoulli:

1AppDataLocalTempmsohtmlclip1 „>. Pentru avion bimotor a fost mai sigur decât patru motoare, este necesar ca inegalitatea

p april 2 + 4p 3 (1-p)

Această inegalitate se reduce la inegalitatea (3p-1) (p-1) 1/3. Trebuie remarcat faptul că în cazul în care probabilitatea de mai mult de o treime, ideea de a folosi aparatul de zbor pentru cazul cedării unui motor de aeronave de pasageri ar fi foarte discutabilă.

3. O echipă de zece oameni vorbesc să ia masa. Există două de masă identice, iar fiecare membru al echipei, independent unul de altul vine să luați masa la oricare dintre aceste cantine. Dacă unul dintre meseni vin accidental mai mulți vizitatori decât este cazul, există o listă de așteptare. Care este cel mai mic număr de locuri ar trebui să fie în fiecare dintre camerele de luat masa la probabilitatea coada a fost mai mică de 0,15?

Decizie. Soluția de rezolvare a problemei trebuie să caute opțiuni brute-force. În primul rând, observăm că în cazul în care cele 10 de locuri, apariția cozii nu este posibilă în fiecare sală de mese. În cazul în care sala de mese pentru fiecare 9 locuri, coada va apărea numai în cazul în care toți utilizatorii 10 vor primi într-o lingură. Dintre condițiile problemei implică faptul că fiecare membru al echipei selectează această sala de mese, cu o probabilitate de 1/2. Prin urmare, toate adunate într-un tabel cu o probabilitate de 2 (1/2) 10 = 1/512. Acest număr este mult mai mic de 0,15, iar calculul trebuie efectuat pentru opt mese. Dacă fiecare din sala de mese scaune 8, coada va avea loc în cazul în care toți membrii echipei vin într-un singur tabel, probabilitatea acestui eveniment este deja calculat, sau 9 oameni merg la o masă, și o altă persoană va alege sala de mese. Probabilitatea acestui eveniment se calculează folosind formula Bernoulli

1AppDataLocalTempmsohtmlclip1 „>. Astfel, dacă în sala de mese pentru 8 locuri, coada are loc cu o probabilitate de 11/512, care încă este mai mică de 0,15. Să presupunem acum că în fiecare dintre camerele de luat masa la 7 persoane. În afară de cele două opțiuni luate în considerare în acest caz, toate apar în cazul în care unul dintre cei 8 linguri suficient, iar in alte 2 persoane. acest lucru se poate întâmpla, cu probabilitate . 1AppDataLocalTempmsohtmlclip1 „> Astfel, în acest caz, toate are loc cu o probabilitate de 56/512 = 0,109375 -9» 0,0111; b) 2. 4. a) 0238; b) 14 c)

0.192. 5. a) 0,93; b) 0,677; c) 0,382; d) 0167.