Identitatea Math Transformări expresii trigonometrice
transformări identice expresii trigonometrice
Formulele de bază ale trigonometrie
Traducere măsură gradul de unghiul în radiani și vice-versa.
Să α - măsura gradul de unghi, β - radian, apoi următoarele formule:
Considerăm mai întâi sarcina destul de simplu pentru aplicarea unor formule trigonometrice.
Sin α, dacă cos α = 0,3, α - unghiul în primul cadran.
Aplicăm identitatea trigonometrice pitagoreice conectarea funcțiilor trigonometrice.
Deoarece prin problema ipoteza cos α = 0,3, care cos 2 # 945; = 0,09. Deci, păcatul 2 # 945; + 1 = 0,09, păcatul 2 # 945; = 1-0.09 = 0,91. Rezolvarea ecuației păcatului 2 # 945; = 0,91, obținem cele două cazuri (), dintre care, acordând o atenție la un sfert aparține unghiul dorit, apoi selectați una. Reamintim că, în primul trimestru al tuturor funcțiilor trigonometrice au un semn „+“. În consecință ,.
Se calculează valoarea lui tg α, dacă ctg α = 0,2.
Utilizați formula referitoare functia y trigonometrică = tg α, y = ctg α. tg α # 8729; ctg α = 1. Înlocuind o valoare predeterminată în starea de 0,2, se constată că tg α # 8729; 0,2 = 1, de la tg α = 5.
1) utilizează proprietatea periodicității funcției y = sin x. atunci.
2) Deoarece perioada funcției y = tg x este egal cu tt, obținem.
3) 75 ° reprezintă suma a doi termeni "convenabile": 75 ° = 45 ° + 30 °. În consecință ,. Referindu-se la valorile de masă ale funcțiilor trigonometrice, obținem.
4). În cele din urmă am înțeles.
5) Pentru a calcula valoarea cos 15 ° 15 ° 15 ° reprezintă ambele = 45 ° - 30 ° (sau 15 ° = 60 ° - 45 °). Apoi. Revenind lângă valorile tabelate ale funcțiilor trigonometrice. Am înțeles. Prin urmare,.
Un grup separat de locuri de muncă care alcătuiesc calcul de tip post de funcții trigonometrice ale unor alte bine-cunoscute.
Este cunoscut faptul că păcatul α - cos α = 0,3. Caută:
2) sin 4 # 945; + Cos 4 # 945; ;
3) sin 6 # 945; + Cos 6 # 945; .
1) Cuadratura ambele părți ale unei condiții predeterminate în egalitate Exemplu și folosește formula „diferență pătrat“, obținem că:
păcatul 2 # 945; - 2sinα cosα + cos 2 # 945; = 0,09.
Să ne amintim identitatea trigonometrice pitagoreice și aplică sinusul unghiului dublu formula:
1 - păcatul 2 # 945; = 0,09, în cazul în care:
păcatul 2 # 945; = 1-0.09 = 0,91.
2) Noi folosim rezultatul obținut răspunsul la întrebarea 2.
Pentru această sumă a păcatului 4 # 945; + Cos 4 # 945; va prezenta într-un mod special:
păcatul 4 # 945; + Cos 4 # 945; = (Sin 4 # 945; 2 + sin 2 # 945; cos 2 # 945; + Cos 4 # 945; ) - 2 păcat 2 # 945; cos 2 # 945; = (Sin 2 # 945; + Cos 2 # 945; ) 2 - 1/2 # 8729; 2 păcat 2α = 1 - 1/2 # 8729; 0,91 = 0,545.
3) De notat că pentru a calcula valoarea păcatului expresiei 6 # 945; + Cos 6 # 945; Acesta poate fi reprezentat ca suma cuburi.
păcatul 6 # 945; + Cos 6 # 945; = (Sin 2 # 945; ) 3 + (cos 2 # 945; ) 3 = (sin 2 # 945; + Cos 2 # 945; ) (Sin 4 # 945; - păcatul 2 # 945; cos 2 # 945; + Cos 4 # 945; ) = 1 # 8729; (0.545 - 1/4 # 8729; 0,91) = 0.3175.
Putem verifica dacă pentru cos α = 0 ecuația dată este incorectă. Prin urmare, este necesar să se împartă numărătorul și numitorul fracției la cos a (pe baza proprietăților de bază ale fracțiunilor):
dezvăluind paranteze sunt prezentate astfel de termeni:
3tgα + 4 = 5tgα - 10, 2tgα = 14, descoperim că tgα = 7.
Calculați cos α, dacă cos2α = 3/4 și
Este cunoscut faptul că. Să ne determina măsura în care unghiul α minciuni și ce semn are astfel cosinus sale. Transformarea specificat în dubla inegalitatea problemă. Divizarea în același timp, toate cele trei duble inegalitatea 2, obținem:
, adică unghiul a este în al doilea trimestru și, prin urmare, cos alfa <0.
În formula de mai sus alege semnul „minus“:
Găsiți valoarea expresiei.
Efectuați o simplificare fiecare fracție separat.
Pentru a reduce fracția folosind formula „cuburi de diferență“ și se obține:
Să considerăm expresia ulterioară. Trebuie remarcat faptul că primii termeni a treia din suma este cea în vigoare identitățile trigonometrice de bază. Astfel:
Revenind lângă a doua fracție de transformare. Se aplică o acționare din formulele. Prin urmare:
Se calculează sin10 ° sin30 ° sin50 ° sin70 °.
Utilizați produse de conversie formula funcțiilor trigonometrice în sumă: sin10 ° sin50 ° = 1/2 (cos40 ° - cos60 °) = 1/2 cos 40 ° - 1/4. Substitut lucrarea originală este o expresie a și să ia în considerare faptul că sin30 ° = 1/2, obținem:
Luați în considerare următoarele exemple pentru a simplifica expresii trigonometrice cu argumente arbitrare.
Deoarece numărătorul fracției au dat o formă destul de simplu, să începem cu simplificarea numitor. Pentru a face acest lucru, se aplică ideea:
Aici fracțiuni diferență la un numitor comun obținut:
Dovedi identitatea atunci când
În special, în acest exemplu, vom încerca să simplifice partea stângă pentru a obține același aspect ca și pe dreapta. Pentru a face acest lucru, se înmulțește numărătorul și numitorul radicand 1 + sin subunitatea:
Amintindu-ne că, obținem
Vom examina în continuare semnul expresiei numărătorul și numitorul podmodulnogo:
păcat α ≥ -1, apoi 1 + sin α ≥ 0, astfel;
În mod similar, al doilea termen de transformare din partea stanga:
QED.
Găsiți valoarea următoarele expresii trigonometrice: păcatul 2cx, cos 2α, tg 2α, în cazul în care.
Scriem formula de calcul a funcțiilor necesare:
Din identitățile trigonometrice de bază se calculează:
În continuare vom găsi valorile expresiei dorite:
Aici este la stânga 1:
Se calculează valoarea expresiei:
Vă rugăm să rețineți că
Mai mult, cu ajutorul formulei de acționare, obținem:
Noi folosim valorile tabelate funcțiilor trigonometrice și proprietăți:
Astfel, valoarea expresiei este 0.
Convenabil pentru rezolvarea acestor probleme face schimbarea (de exemplu, α = arcsin x) și lucrul cu un obiect mai familiar - un unghi α, care se află în primul sau al patrulea trimestru al cercului trigonometric cărui sinus este egal cu x. În acest caz, se pare că sarcina este mult mai ușor decât pare la prima vedere.
Calculate cos (4arctg 5).
Să α = arctg5. apoi tg α = 5. Necesar pentru a găsi cos4α. Calculăm mai întâi cos2α. folosind schimbarea universală:
Apoi, constatăm că:
Express prin funcțiile inverse
Să. Unghiul a se află în al patrulea trimestru, prin urmare, cos α> 0.
Găsiți toate funcțiile trigonometrice ale unghiului:
În al patrulea trimestru al arctangenta sunt numere negative, astfel încât să puteți pretinde că.
Dar, după cum arccosinusul de numere pozitive fac parte din primul trimestru. Prin paritate cosinus cos (-α) = cos α, în același timp, adică timpul.
cotangentă Inverse de numere negative sunt aranjate în al doilea cvadrantul. De exemplu, în consecință. Astfel, unghiul a este exprimat prin funcția inversă.
Găsiți arcsin (sin 12).
Potrivit problema este necesară pentru a găsi unghiul a cărui sinus este egală cu sinusul unghiului în radiani 12 și care aparține intervalului. Rețineți că, așa.
Deoarece unghiul de 12 - 4π este unghiul dorit, sinus său egală cu 12 păcat, și este situat în regiunea de valori posibile arcsinus.
Raspuns: arcsin (sin12) = 12 - 4π.
Introducem două unghiuri: Ambele dintre ele sunt în primul trimestru, atunci toate funcțiile trigonometrice sunt pozitive. Știm asta. Doriți să găsiți sinusul suma acestor unghiuri, dar trebuie să știe sinus și cosinus lor.