Găsirea rădăcini primitive modulo

În această secțiune avem în vedere numărul n. în care n -1 = * - factorizare canonic în factori de prim.

Să On (a) = n -1. Apoi (1) este satisfăcută prin definirea ordinea elementelor din grup. În plus ,. 1 ≤

Să presupunem acum că (1) și (2). Arătăm că On (a) = n -1.

Rezultatele teoremei tocmai au dovedit pot fi folosite pentru a găsi generatoare de sus, care ar trebui să verificați doar al doilea punct, ca și primul pentru un modul simplu se realizează automat, în conformitate cu teorema lui Fermat. În plus, se poate obține o regulă. dacă a1. a2 nu sunt generatoarele elementelor de grup Up. a1a2 este, de asemenea, să nu genereze element de sus. De aici putem trage concluzia că cel mai mic generatorul de grup Up - prim.

Pentru un element de generare a fost necesară și suficientă pentru a satisface condițiile: a brumărel 1 (mod n), un 14 ianuarie (mod n), un 35 1 (mod n).

Vom experimenta o serie de U71. În schimb, un mod b 71, pentru concizie, vom scrie un b.

2: 2 10 = 30, 14 = 2 54 2 35 = 1. 2 nu este generatoare de element.

3: 3 10 = 48 14 = 3 54, 3 35 = 1. 3 nu este generatoare de element.

5: 5 10 1 = 5 nu este generatoare de element.

7: 7 10 = 45 14 = 7 54, 7 35 = 70. 7 - element de generare.

Deci, U71 cel mai mic grup de elemente de generare (sau un mod de rădăcină primitivă 71) este 7.

Existența și numărul de rădăcini primitive.

rădăcini primitive nu există pentru fiecare modul. Într-adevăr, așa cum sa arătat în exemplul 2 din revendicarea 1, nu există rădăcini primitive modulo 8.

rădăcini primitive modulo m, există m = 2, 4, p # 945; sau 2p # 945;. unde p - un număr impar.

Numărul de rădăcini primitive modulo m. în cazul în care acestea există, au # 966, (# 966; (m)).

Se determină numărul de rădăcini primitive modulo 10.

10 = 2 * 5 = 2p. Există rădăcini primitive. Să ne găsim numărul.

02 martie = 9, 3 3 = 7, 3 aprilie = 1. O10 (3) = 4 = # 966; (10). 3 - rădăcină primitivă.

09 iulie 2 = 7 3 = 3, Aprilie 7 = 1. O10 (7) = 4 = # 966; (10). 7 - rădăcină primitivă.

Intr-adevar, au existat două rădăcini primitive modulo 10.

Să c = # 966; (m), q1. q2. .... qk - diferite divizori prime cu. Apoi, g. (G, m) = 1 - o rădăcină primitivă mod m nu este nici unul satisfăcut de comparații. i = 1,2, ..., k.

Teorema a demonstrat în paragraful precedent este un caz special al acestei teoreme într-un simplu n.

Dacă g - un primitiv modulo rădăcină m (Um element de generare), atunci dacă # 947; se execută printr-un sistem complet de reziduuri modulo # 966; (m), atunci g # 947; trece prin sistemul redus de reziduuri modulo m.

Pentru numerele de. (A, m) = 1 introducem conceptul indicelui sau logaritmului discret.

Dacă a≡g # 947; (Mod m), # 947; Se numește index. sau un număr de logaritmului discret în bază g modulo m.

În teoria numerelor a făcut uz de cuvântul „index“ și scrie # 947; = indg a. dar combinația de „logaritm discret“ este folosit în criptografie și scrie # 947; = lodgii a. În ceea ce privește acest beneficiu nu îndeplinește doar menționarea așa-numita problema logaritmului discret, vom folosi cea mai recentă versiune a numelui, și scris. Mai ales pentru că logaritmii discrete au unele proprietăți ale logaritmilor continue:

Proprietatea 1: discret raznoznachen logaritm în sistem complet de reziduuri modulo # 966; (m).

Dovada acestor proprietăți nu este complicată și este o consecință directă a definițiilor logaritmului discret și rădăcina primitivă.