Funcții de tensiune în serie putere

Taylor 1.Ryad - Dacă funcția f (x) are derivați de la orice comandă în vecinătatea, atunci putem scrie funcții f (x) lărgiri puteri (). (1)

(1) - se numește seria Taylor.

Dacă formula (1) pentru a pune, vom obține o expansiune în stepenyamx. care se numește seria Maclaurin. și anume.:

Formula (1) poate fi scrisă ca :,

în cazul în care - Taylor polinom.

, , - termenul rest al seriei Taylor, scrise sub forma Lagrange. (3)

seria Taylor poate fi scris în mod oficial pentru orice funcție infinit derivabile în vecinătatea punctului, dar pot fi divergente sau convergente, dar nu la funcția f (x).

Teorema: Pentru seria Taylor (1) al funcției f (x) converge la o functie f (x) la punctul x este necesar și suficient ca, în acest moment ecuația rest (3) tinde la zero. (4)

extinderea functiei Obiectiv f (x) într-o serie de putere se reduce la determinarea valorii x, la care se tinde la zero. În cazul în care nu este ușor de făcut, ar trebui să utilizați o altă metodă, cum ar fi să aplice un semn al D'Alembert și Cauchy.

2.Razlozhenie anumite funcții elementare din seria Maclaurin - pentru extinderea funcției f (x) Maclaurin (2) este necesară:

1. Găsiți derivații f (x). f (x), etc. fn (x);

2. Se calculează valoarea acestora la punctul;

3. suplean seria (2);

4. Găsiți intervalul de convergență dacă pentru a găsi intervalul (-R, R). în care termenul rămas al seriei tinde spre zero. Aceste intervale sunt aceleași;

Tabel de extinderi de bază ale funcțiilor elementare în serie Maclaurin:

Funcții 32.Razlozhenie Maclaurin Ex. păcatul X.

:

1. Am găsit derivați;

;

2. Funcțiile pentru a calcula valoarea 0 :;

;

;

;

3. supleanți Maclaurin :;

4. Găsiți raza de convergență a :; Intervalul de convergență.

:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Seria de putere 33.Prilozhenie. Un calcul aproximativ al valorilor funcției. SIN1 calcula cu precizie δ = 10-3.

Valoarea aproximativă a calcula valorile funcției: Să presupunem că dorim să calculeze valoarea funcției f (x). în cazul în care, cu o anumită precizie. Dacă funktsiyuf (x) în intervalul (-R, R) poate fi extins într-o serie de putere și, adică, znacheniesumme curent această serie, iar valoarea aproximativă este suma parțială a seriei. Precizia acestei ecuații crește cu rostomn. Eroare absolută a acestei ecuații este undeva :, restul seriei. Astfel, estimarea reziduul poate găsi eroarea. Și pentru seria alternativ:.

;

. Această serie converge pe baza Leibniz.

Comparăm fiecare rând cu ::;

:;

: - Această sumă nu este inclusă în.