funcție verde
În acest capitol, considerăm ecuația Laplace „> Ro (Ho. Uo. Zo), în spațiul) aparțin D și
„>“ > Să presupunem că limita D este setată la starea Dirichlet zero.
Funcția G (P, Po) se numește funcție a problemei Dirichlet în domeniul D. Green Dacă pentru orice punct fix „>
(I), o continuă „> (ii) un D armonic cu excepția punctului Po;
(Iii) în cazul planului „> armonic rămâne la punctul Po.
Astfel cum rezultă din definiția funcției Green este continuă și armonic peste tot în domeniul D, cu excepția punctului Po. în care are tipul de caracteristică „> în spațiul. Funcția Green este numit uneori funcția de generare.
Funcția lui Green G (P, Po) (dacă există) este unic determinată de proprietățile (i) - (iii). În plus, G (P, Po)> 0 în zona D. Luați în considerare, de exemplu, o regiune plană D. Pentru a demonstra unicitatea funcțiilor verzi, presupunem contrariul: să G1. și G2 - două funcții, având proprietăți (i) - (iii) pentru o anumită zonă și a punctului D „>.
Fiecare suport de pe partea dreaptă (41) este o funcție armonică peste tot în D (a se vedea de proprietate (iii).), Și, prin urmare, diferența (G1 - G2) - funcția armonică peste tot în D. Mai mult decât atât, cu privire la funcția D limita „> în D.
În continuare, în cazul în care D1 - parte a zonei D. situată în afara mic cartier al punctului Po. apoi, în conformitate cu condițiile (i) - (iii), funcția G este continuă în "> at)." > D1 în care valoarea zero, într-o regiune D1 nu poate primi funcție. Acest lucru înseamnă că „>
Exemplul 1. Pe plan, ia în considerare un cerc cu raza R centrată la origine. Noi construim funcția Green în cerc. În construcția acestei funcții avem nevoie de conceptul de puncte de conjugat. Punctele Po și P * sunt relative conjugat la cercul, dacă se află pe aceeași rază din centrul O al cercului, și produsul distanțelor lor de centru este egală cu pătratul razei:
Este notat cu ro = | OPO | și r * = | OP * |. Apoi r ro * = R 2. Deoarece punctele Po și P Minciuna pe o rază care emană de la origine,
unde r = | Po P |. r1 = | PP * | (A se vedea. Figura 17). Verificați dacă este funcția Green pentru cercul.
Prin teorema lui cosinus „>, unde ρ = | OP |.
Folosind ecuația ro r * = R 2. obținem Astfel, valorile r și r1 sunt exprimate prin R, ρ, ro. φ, φo. și, în cele din urmă, prin R, x, y, xo. yo. Vom arăta că funcția G (P, Po) satisface punctele (i) - (iii) determinarea. Este evident că funcția este continuă peste tot în cerc închis, cu excepția punctului Po (când r = 0). La limita de distanta cercului ρ = R și deci
Prin urmare Funcția „> este o armonică peste tot în D., deoarece punctul P face parte din regiune, iar punctul P * se află în afara regiunii D și, prin urmare, r1> 0. Harmonicity această funcție este ușor de a verifica dacă scrie operatorul Laplace în sistemul de coordonate polare pol la P * (formula sm.analogichnuyu (33 *), cu un pol la punctul G):
construite în mod similar funcția Green pentru o sferă R. rază este dat de „> * |. Ro = | OPO |. P * punct (x * y * z * ..) punctul Conjugat Po (Ho uo Zo ..) În ceea ce privește sfera de rază R centrată la O. ceva de mâncare. " > *. y *. z * se calculează ca:
Exemplu „> * sunt conjugate în raport cu o linie dreaptă, în cazul în care sunt simetrice în raport cu această linie (vezi. Figura 18).
,„>
(A se vedea fig.19.) Îndeplinește proprietățile (i) - (iii) în semiplanul y> 0. De fapt, pe limita la y = 0 distanța r = r1. astfel încât „> peste tot în regiune y> 0 poate fi verificată în mod direct prin calcularea derivatelor parțiale:
Prin urmare, „> 0 pretutindeni, cu excepția la punctul Po și diferența G (P, Po) -. Ln (1 / r) și armonică la punctul Po.
Pentru o jumătate-z> 0 și funcția Green este de forma „>