Funcția infinitul mare 1

Definiția. Funcția f (x) este infinit de mare ca x → x0. adică. dacă pentru orice există astfel încât pentru toate - cartier.

- În cazul în care este important de notat semnul unei funcții infinit de mari dimensiuni, + sau scrie simbolul. De exemplu,

Notă Constant nu este infinit de mic, indiferent cât de mic ar fi. Numai numărul 0 poate fi considerată ca fiind o infinitezimală.

Notă Nu puteți apela o funcție sau un cartier infinit de mare sau infinit de mici, în cazul în care nu este specificat de punctul în care este tratată.

Deci, am văzut că funcția este un infinitezimal ca x → ∞ pentru infinit de mare ca x → 2

Comunicarea dintre caracteristici infinit mari și infinit de mici, astfel teorema exprimate de:

Teorema. Dacă există infinit de mică, în vecinătatea lui x = X0 .. funcția este infinit de mare, în vecinătatea același punct.

Formulăm unele teoreme de funcții infinitezimale.

Teorema. Suma algebrică a unui număr finit de funcții infinitezimale în vecinătatea x = x0 este o funcție infinitezimal într-o vecinătate a lui x = x0.

Teorema 4.4. Funcția de lucru de infinit mici în vecinătatea x = X0 să funcționeze într-un cartier limitat de x = x0. Funcția infinitezimal într-o vecinătate a lui x = x0.

Corolar 1. lucrare funcția infinitezimal într-o vecinătate a lui x = X0 printr-o valoare constantă este o funcție de infinit mici în vecinătatea lui x = x0.

Corolar 2. Produsul a două funcții infinitezimale okrestnostitochki x = x0. Funcția infinitezimal într-o vecinătate a lui x = x0.

Astfel, suma, diferența și produsul unui număr finit de funcții infinitezimale în vecinătatea infinitezimal x = x0 în vecinătatea același punct.

Acest lucru nu se poate spune despre atitudinea lor. De exemplu, dacă x → ​​0. atunci ele sunt infinit de mici în vecinătatea x = 0. și relația lor x → 0:

Din aceasta rezultă că raportul dintre două funcții infinitezimale în vecinătatea lui x = x0 este incertitudinea de tip

Raportul dintre două funcții infinit mari, este de asemenea o incertitudine, care este notat cu

Pentru a calcula limita raportului dintre cele două infinit mici sau infinit mari două funcții, este necesar să se efectueze studii suplimentare, care sunt numite de tip nedeterminată formă, respectiv, și cu ei vom afla următoare.

Teorema. Dacă funcția f (x) are o limită egală cu A. poate fi reprezentat ca suma numărului A caracteristici mici ibeskonechno # 945; (x). și anume dacă

Teorema (invers). Dacă funcția f (x) poate fi reprezentat ca suma A și funcția infinitezimal # 945; (x), numărul A este limita funcției f (x). T.

e. dacă f (x) = A + # 945; (x), atunci

Teoreme privind limitele

Pentru a calcula limitele necesare pentru a utiliza anumite reguli. Aceste reguli sunt formulate sub forma de teoreme, pe care le formulăm mai jos. Pentru a aduce aceste teoreme folosind următoarea teoremă:

Teorema. Pentru o funcție y = f (x) la x = x1 au un număr limită necesar și suficient ca acesta a fost prezentat în vecinătatea punctului dat ca o sumă,

în care - funcția infinitezimal într-o vecinătate a lui x = x1.

Teorema. Suma algebrică întindere (diferență) a unui număr finit de funcții care au o limită în punctul x = x0. egală cu suma (diferență) termeni limite:

Dovada. Să Apoi, prin teorema funcției de conectare, limita și b.m.v. poate fi scris: și, prin urmare,

Funcția Corolar poate avea doar o limită atunci când x → x1

Teorema. Tracțiune lucrări număr finit de funcții care sunt dincolo de punctul x = x1. egală cu produsul dintre limitele factorilor:

Corolar. Un factor constant poate fi luat ca un semn al limitei:

Corolar. Limita de grad cu indicator natural este aceeași limită de studii:

. în special. nÎN

Teorema. Dacă funcția y = f (x) are la punctul x = limita x1 este diferit de zero, atunci funcția - este limitată în vecinătatea punctului dat.

Teorema. Limita de raportul dintre cele două funcții care au limite, egal cu raportul dintre limitele acestor funcții, cu condiția ca limita numitorul nu este zero:

Formulăm criteriul pentru existența limitelor:

Teorema. Dacă valoarea funcției f (x) se găsește între valorile corespunzătoare ale funcțiilor f1 (x) și f2 (x). care tind să limiteze și una la x = x1. apoi f (x) la x = x1 de asemenea, are un număr limită. și anume dacă