Funcția continua pe portiuni, întâietatea

Pentru a înțelege mai bine materialul prezentat mai jos, vă rugăm să consultați tema „seria Fourier“.

Fourier formulă integrală

Dacă intervalul $ \ stânga [-l, l \ dreapta], $ pe care funcția $ f \ stânga (x \ dreapta) $ extins într-o trigonometrice crește serie Fourier pe termen nelimitat, adică $ L \ rightarrow + \ infty, $ Fourier transformată într-o transformată Fourier integrală. În tranziția la limita există un salt calitativ: funcție definită peste orice interval finit $ \ stânga [-l, l \ dreapta], $ extins într-o frecvență „armonică oscilație“ din care formează secvențe discrete; funcția $ f \ left (x \ dreapta), $ dată de-a lungul axei $ x $ sau semiaxis $ x, $ se descompune în integral, care reprezintă suma frecvenței "armonice oscilație" care umple continuu axa reală $ 0 \ le \ lambda \ le + \ infty. Luați în considerare $ acest pasaj la limita seriei Fourier pentru Fourier integrală.

Notă. Să ne amintim că o funcție f $ $ este o buna pe portiuni intervalul $ \ stânga [a, b \ dreapta], $ în cazul în care:

• $ F $ continuă la toate punctele, cu excepția, eventual, pentru un număr finit de puncte $_<1>,\ puncte,_\ În \ din stânga (a, b \ dreapta). $
• $ \ FORALL i = 1, \ puncte, n \ quad \ există f \ stânga (_\ Pm 0 \ dreapta), \ quad f \ stânga (a + 0 \ dreapta), \ quad f \ stânga (dreapta). $ B-0 \
• $ F $ - este derivabila la toate punctele, cu excepția, eventual, pentru un număr finit de puncte $_<1>,\ puncte,_.$
• $ \ Exists f ^<\prime>\ Stânga (_\ Pm 0 \ dreapta). $ Să $ f \ stânga (x \ dreapta) $ dat de-a lungul axei $ x $ și fiecare segment finit $ \ stânga [-l, l \ dreapta], $ este netedă pe porțiuni. Apoi, în virtutea teoremei fundamentale privind convergența seriilor Fourier trigonometrice, pentru orice $ l> 0 $ $$ f (x) = \ frac <_<0>><2> +\ Suma _^<+\infty><\left( _\ cos <\frac > +_\ păcat <\frac > \ Dreapta)>, \ quad \ stânga (1 \ dreapta) $$
  în cazul în care $$ \ stânga (2 \ dreapta) \ quad \ începe_<0>= \ Frac <1> \ Int \ limits_<-l>^ d \ xi. \\ _= \ Frac <1> \ Int \ limits_<-l>^ d \ xi. >> \\ _= \ Frac <1> \ Int \ limits_<-l>^ d \ xi. >> \ end $$
  Egalitatea $ \ stânga (1 \ dreapta) $ apare dacă $ x $ - punctul intern al segmentului $ \ stânga [-l, l \ dreapta], unde $ $ f \ left (x \ dreapta) $ continuă; dacă $ x $ - punct interior al segmentului, în care $ f \ left (x \ dreapta) $ este discontinuă, atunci partea stângă a ecuației $ \ stânga (1 \ dreapta) $ $ f \ left (x \ dreapta) $ este necesar înlocuit cu $ \ frac <2>.$
  Substituind expresiile $ \ stânga (dreapta 2 \) $ în $ \ stânga (1 \ dreapta), $ obține $$ f \ stânga (x \ dreapta) = \ frac <1><2l> \ intop_<-l>^ +\ frac <1> \ Suma _^<+\infty><\intop_<-l>^> \ Stânga (\ xi -x \ dreapta) d \ xi >>. \ Quad \ stânga (3 \ dreapta) $$
  Dacă $ f \ stânga (x \ dreapta) $ și mai mult absolut integrabilă pe linia reală $ x, adică $ $$ \ intop_<-\infty>^<+\infty><\left| f\left(x\right) \right| dx> = Q<+\infty, \quad \left(4\right)$$
  apoi merge la limita $ l \ rightarrow + \ infty $, primul termen din partea dreaptă $ \ stânga (3 \ dreapta) $ de starea $ \ stânga (4 \ dreapta) $ tinde la zero. Prin urmare, $$ f \ stânga (x \ dreapta) = \ lim _<\frac <1> \ Suma _^<+\infty><\intop_<-l>^> \ Stânga (\ xi -x \ dreapta) d \ xi>. >> \ quad \ stânga (5 \ dreapta) $$ Să $ \ frac =<\lambda>_,$ $ \ Frac <\pi> =<\Delta \lambda>_.$ Apoi $ \ stânga (5 \ dreapta) $ poate fi rescrisă sub forma $$ f \ stânga (x \ dreapta) = \ lim _<\begin l\rightarrow +\infty \\ \Delta <\lambda>_\ Rightarrow 0 \ end><\frac <1><\pi>> \ Suma _^<+\infty><\Delta <\lambda>_> \ Intop_<-l>^_> \ Stânga (\ xi -x \ dreapta) d \ xi>. \ Quad \ stânga (6 \ dreapta) $$
  Susținem slab:

Egalitatea $ \ stânga (7 \ dreapta) $ se numește formula integrală Fourier, iar integrala din partea dreapta a acestuia, - sau o Fourier integrală Fourier dublu integrală

Fourier Motivație formulă integrală

Egalitatea $ \ stânga (7 \ dreapta) $ a fost obținută prin tranziții limită formale, care nu au fost justificate.
În schimb, ei justifică, mai ușor pentru a dovedi în mod direct egalitatea $ \ stânga (7 \ dreapta). $

Notă. Teorema fundamentală a Fourier integrale și valabile în conformitate cu restricții mai slabe asupra funcției $ f \ stânga (x \ dreapta). $ Și anume, dacă este absolut integrabilă pe axa reală $ x $ o functie $ f \ stânga (x \ dreapta) $

• continuu pe fiecare portiuni segment finit de axa de $ x $
• raportul dintre $ \ left | \ frac <\zeta> \ Dreapta | $ mărginite pentru orice fix $ x $ pentru toate suficient de mici $ \ zeta, $ teorema fundamentală rămâne valabilă.

Într-adevăr, dovada teoremei principale se reduce la evaluarea celor trei integralele: $_<0,\delta>,_<\delta ,\Delta>,_<\Delta ,+\infty>$ Pentru a $_<0 ,+\infty>.$ Ultimul dintre aceste trei integralele mici suficient de mare pentru $ \ Delta, $ din cauza integrabilitatea absolută a $ f \ stânga (x \ dreapta). $ $ Integral_<0,\delta>$ Mici pentru toate suficient de mici $ \ delta> 0 $ în cazul în care raportul dintre $ \ left | \ frac <\zeta> \ Dreapta | $ Este mărginit pentru fiecare $ x $ fix pentru toate suficient de mici $ \ zeta> 0. $ În integră $$_<\delta ,\Delta>= \ Frac <1><\pi> \ Intop _<\delta>^<\Delta><\frac <\zeta> \ păcat d \ zeta> $$ funcție $ \ varphi \ left (\ zeta \ dreapta) = \ frac <\zeta> $ Continua pe portiuni intervalul $ cu 0<\delta \le \zeta \le \Delta $ при любом фиксированном $x.$ Пусть $\left[ a,b \right] $ — какой-либо сегмент, на котором $\varphi \left(\zeta \right)$ непрерывна, и пусть дано какое угодно $\varepsilon>$ 0. Vom construi o funcție $ netedă pe porțiuni_<\varepsilon>\ Stânga (x \ dreapta) $ (ca în dovada primei teoremei lui Weierstrass) că inegalitatea $$ \ din stânga | \ Varphi \ left (\ zeta \ dreapta) -_<\varepsilon>\ Stânga (\ zeta \ dreapta) \ dreapta | <\frac <\varepsilon><2\left(b-a\right)>,\ Quad 0<\delta \le \zeta \le \Delta .$$ Но тогда $$\left| \int _^<\varphi \left(\zeta \right)\sin d \ zeta> \ dreapta | \ Le \ INTOP _^<\left| \varphi \left(\zeta \right)-_<\varepsilon>\ Stânga (\ zeta \ dreapta) \ dreapta | d \ zeta> + $$ $$ + \ left | \ Intop _^<_<\varepsilon>\ Stânga (\ zeta \ dreapta) \ păcat d \ zeta> \ dreapta | <\frac <\varepsilon><2> +\ frac <\varepsilon><2> = \ Varepsilon \ quad $$ suficient de mare pentru $ l \ Ge0, $ deci pentru funcții netede $ pe porțiuni_<\varepsilon>\ Stânga (x \ dreapta) $ deține lema fundamentală. Divizarea $ integrală _<\delta ,\Delta>$ Pe intervale segmente de continuitate $ \ varphi \ stânga (\ zeta \ dreapta), se obține $ că $_<\delta ,\Delta>\ Rightarrow 0 $ pentru $ l \ rightarrow + \ infty, $ care completează demonstrația teoremei.