forme pătratice

Evaluare: 5/5

Literatura: Colectia de probleme în matematică. Partea 1. Editat de A. V. Efimova, BP Demidovich.

În cazul în care spațiu liniar real $ L_n $ bază fixă ​​$ B = (e_1. E_n), $ forma pătratică $ A (x, x) $ în această bază are forma $$ A (x, x) = \ sum \ limits_ ^ n a_x_ix_j, unde $$ $$ a = (a _) = \ begina_a_ \ cdotsa _ \\ a_a_ \ cdotsa _ \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ a_a_ \ cdotsa_ \ end $$ - matrice formă pătratică și $ x = x_1e_1 +. + X_ne_n. $

Forma pătratică $ A (x, x), $ definită în spațiul liniar real $ L_n, $ a numit-pozitiv (negativ) a determinat, în cazul în care pentru fiecare $ x \ in L_n \, \, \, (x \ neq 0) $$ $ A (x, x)> 0 \ prototipurilor (<0).$$

Să $ A = (a_) - $ matrice de forma pătratice $ A (x, x) $ si $$ D_1 = a_, \ quad D_2 = \ begina_a _ \\ a_a_ \ end, \, \, \ cdots, \, \, d_n = \ begina_a_ \ cdotsa _ \\ a_a_ \ cdotsa _ \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ a_a_ \ cdotsa_ \ end - $$ secvență principali minori ai matricei A. $ $

Criteriul pentru o formă pătratică pozitiv definită este declarația followingManufacture (criteriu Sylvester) la forma pătratică $ A (x, x) $ este pozitiv definită dacă și numai dacă toți principali minori ai matricei sale $ A $ a fi pozitiv, adică, $ D_k > 0, \, \, k = 1, 2, \ cdots, n. $

Putem dovedi că pentru forma pătratică $ A (x, x) $ are negativ opredelnie este necesar și suficient ca inegalitatea $ (- 1) ^ kD_k> 0, \, \, k = 1, 2, \ cdots, n. $

În următoarele probleme pentru a determina ce formele pătratice sunt pozitive sau definit negativ, și ce - nr.

matrice formă pătratică are forma $$ A = \ begin15 \\ 526 \ end. $$

Calculăm principali minori ai matricei A $: $

$$ D_2 = \ begin15 \\ 526 \ end = 1 \ cdot 26-5 \ cdot 5 = 1> 0. $$

Astfel, toate principali minori ai matricei sale $ A $ a fi pozitiv, ceea ce înseamnă că o anumită formă pătratică este pozitiv definită.

A: definit pozitiv.

Matricea formei pătratice are forma $$ A = \ begin-11 \\ 1-4 \ end. $$

Calculăm principali minori ai matricei A $: $

Astfel, pe termen de inegale $ (- 1) ^ kD_k> 0, \, \, k = 1, 2, \ cdots, n, $, care este dat de o formă pătratică este definit negativ.

A: definit negativ.

Matricea formei pătratice are forma $$ A = \ begin00,50,50 \\ 0,50-11 \\ \\ 0,5-100 0,002 \ end. $$

Calculăm principali minori ai matricei A $: $

Prin urmare, forma pătratică nu este nici pozitiv, nici negativ definit.

În următoarele probleme pentru a determina ce formele pătratice sunt polopzhitelno sau definite negativ, și ceea ce - nu.

A: definit negativ.