Februarie funcția de schimbare 1 Viteza 6 - Document - pagina

2.1 Rata de schimbare a funcției 6

2.2 Derivata funcției 7

2.3 Derivata unei funcții de putere 8

2.4 semnificația geometrică a derivatului 10

2.5 Diferențierea funcțiilor

2.5.1 Diferențierea rezultatelor operațiilor aritmetice 12

2.5.2 diferențiere funcții complexe și inverse 13

2.6 Derivatele funcțiilor specificate parametrically 15

3.1 Differential și semnificația geometrică 18

3.2 Proprietățile diferențial 21

4.1 Anexa 1. 26

4.2 Anexa 2. 29

5. Referințe 32

1.1Nekotorye probleme în fizică. Să considerăm simplu fenomenele fizice: mișcare liniară și o distribuție a greutății liniare. Pentru studiu administrat corespunzător vitezei și densitate.

Să examinăm fenomenul vitezei și a conceptelor conexe.

Lăsați corpul efectuează mișcare liniară și cunoaștem distanța parcursă de către organism pentru orice moment dat, de exemplu, știm distanța în funcție de timp ..:

Ecuația se numește ecuația de mișcare, și a determinat linia lor în sistemul de axe - mișcare grafică.

Luați în considerare mișcarea unui corp în intervalul de timp de la un moment la altul. De-a lungul timpului, corpul a trecut un mod și în timp - un fel. Acest lucru înseamnă că, pe unitatea de timp a luat calea

În cazul în care mișcarea este uniformă, care este o funcție liniară:

În acest caz, iar raportul arată cât de multe unități de calea pe unitatea de timp; în timp ce rămâne constantă, independent de orice problemă care punct în timp este luată, indiferent de incrementul de timp este luată. Acest raport constant se numește viteza de mișcare uniformă.

Dar, în cazul în care mișcarea este inegală, raportul depinde

de către și de. Se numește viteza medie în intervalul de timp de la și este notat cu:

Pe parcursul acestui interval de timp, la aceeași distanță parcursă de circulație poate avea loc în diferite moduri; Acest lucru este ilustrat grafic prin faptul că între două puncte pe planul poate fi realizată o varietate de linii (punctul 1 din Fig.) - mișcări grafice într-un interval de timp dat, cu aceste mișcări diferite corespunzătoare cu aceeași viteză medie.

În special, între punctele de segment se extinde, care este uniformă în intervalul orar mișcare. Acest lucru înseamnă că viteza medie indică cât de repede trebuie să se deplaseze în mod uniform, pentru a trece în aceeași perioadă de timp aceeași distanță.

Lăsând la fel, a scăzut. Viteza medie, calculată pentru un interval schimbat situată în acest interval poate fi, desigur, diferit decât în; întregul interval. Din aceasta rezultă că viteza medie nu trebuie considerată satisfăcătoare mișcare caracteristică: una (viteza medie) depinde de intervalul pentru care se efectuează calculul. Bazat pe faptul că viteza medie în intervalul ar trebui să fie luate în considerare mai bine caracterizează mișcarea, mai mic, va forța tinde la zero. Dacă există limita de viteză medie, apoi și luând ca viteza de deplasare în acest moment.

Definiția. Skorostyupryamolineynogo mișcare în acest moment este limita intervalului corespunzător viteza medie tinde la zero:

Exemplu. Scriem legea cădere liberă:

Pentru o rată medie incidență în intervalul de timp au

și pentru viteza la momentul

Acest lucru arată că viteza cădere liberă este proporțională cu timpul mișcării (scădere).

Rata funcției de schimbare. Derivata unei funcții. Derivata funcției de putere.

2.1Skorost funcția de schimbare. Fiecare dintre cele patru concepte speciale: viteza, densitatea, capacitatea de căldură,

rata de reacție chimică, în ciuda diferenței semnificative în sensul lor fizică este din punct de vedere matematic, este ușor de observat, aceeași funcție corespunzătoare caracteristică. Toate acestea sunt tipuri speciale de asa-numita rata de schimbare a funcției definită, precum și condițiile specifice enumerate de conceptul de limită.

Să ne, prin urmare, în termeni generali, problema ratei de schimbare a funcției, în afară de semnificația fizică a variabilelor.

În primul rând să - funcție liniară:

În cazul în care variabila independentă este incrementat, atunci funcția ajunge aici incrementează. Raportul rămâne constantă și independentă de orice problemă considerată în orice funcție, indiferent de ce este luat.

Acest raport se numește rata de schimbare a funcției liniare. Dar, în cazul în care funcția nu este liniară, raportul

Depinde, și. Acest raport este doar „media“ arată funcția când schimbarea de independent adâncitură la; este egală cu viteza unei astfel de funcții liniare care, atunci când este luat are același increment.

Opredelenie.Otnoshenie funcția nazyvaetsyasredney skorostyuizmeneniya în intervalul.

Este clar că mai mic intervalul în cauză, cea mai bună viteză medie caracterizează schimbarea funcției, astfel încât vom face tind la zero. Dacă există limita de viteză medie, este luată ca o măsură a ratei de schimbare cu o funcție dată, și se numește rata de schimbare a unei funcții.

Definiția. Funktsiivdannoy tochkenazyvaetsya limita rata de schimbare a ratei medii de schimbare a funcției intervalepri tinde la zero:

2.2 Derivata unei funcții. Rata funcției schimbare

Acesta este determinat printr-o secvență de acțiuni:

1) increment atașat la o anumită valoare, funcția de creștere corespunzătoare este

2) Raportul este realizat;

3) este limita relației (dacă există)

la un arbitrar tinde la zero.

După cum sa menționat deja, în cazul în care funcția nu este liniară,

raportul depinde de, și. Limita acestui raport depinde de valoarea selectată, și este, prin urmare, o funcție de. Dacă funcția este liniară, această limită nu depinde. t. e. va fi constantă.

Această limită se numește funcția derivată a funcției sau pur și simplu derivata funcției și este notat .Pentru citește: „bar eff de la“ sau „în comentariu pe ef.“

Definiția. Funcția Proizvodnoydannoy numită limita raportului funcției creștere cu creșterea variabilei independente la căutarea aleatoare, această creștere la zero:

Valoarea funcției derivatului la un moment dat este notat în general.

Profitând de introducerea anumitor derivate, se poate spune că:

1) Mișcarea rectilinie de viteză este un derivat al

Funcția (un derivat al căii în raport cu timpul).

2.3 Derivata funcției puterii.

Să ne găsim derivata unor funcții elementare.

.. Adică, derivatul este o constantă egală cu 1. Acest lucru este evident, deoarece - funcția liniară și rata de schimbare este constantă.

Este ușor de observat un model în ceea ce privește derivatele funcțiilor exponențiale cu. Demonstrăm că orice derivat din orice indice pozitiv egal.

Expresia din numărătorul, transformam formula binomului:

Partea dreaptă a acestei ecuații este suma termenilor, dintre care primul este independent de, iar restul tind la zero. prin urmare

Astfel, funcția de putere cu un număr întreg pozitiv are un egal derivat:

Când a găsit formula generală urmată de formulele derivate de mai sus.

Acest rezultat este valabil pentru orice parametru, de exemplu:

Să luăm acum în considerare separat, derivata unei valori constante

Deoarece această funcție nu se schimbă odată cu schimbarea variabila independentă, atunci. Prin urmare,

t. e. constanta derivatul este zero.

2.4 semnificația geometrică a derivatului.

Derivata funcției este semnificația geometrică simplă și intuitivă, care este strâns legată de noțiunea de o tangentă la linia.

Opredelenie.Kasatelnoy la linia de la punctul său (fig. 2). Se numește poziția de limitare a liniei care trece prin punctul, iar celălalt tochkulinii atunci când acest punct tinde să fuzioneze cu acest punct.

Poziția de limitare determinată printr-o linie dreaptă, unghiul tinde la zero cu coarda.

semnificația geometrică a derivatului rezultă din propuneri.

Teorema. Dacă valoarea derivatului de funktsiipriravno, linia trasată prin coeficientul de tochkusuglovym egal cu yavlyaetsyakasatelnoy funcție grafică la punctul.

Dovada. Prin punctul (figura 2.) Cu o pantă dreaptă; Acest lucru înseamnă că. unde - unghiul de înclinare a unei linii drepte la abscisă. Să ne dea apoi incrementat să ia un punct care se află pe grafic și funcția corespunzătoare valorii argumentului, și trage o trecere. Panta secantă este locul unde.

Acum, să; atunci punctul va tinde să arate de-a lungul liniei. Secant pivotează astfel despre punct, iar coeficientul său unghiular prin ipoteză tinde la o anumită limită

panta egală a liniei. Conform formulei pentru tangenta unghiului între două linii drepte (u)

Prin (*) în numărătorul merge la zero, iar numitorul - la numărul. Prin urmare, tinde la zero, și, prin urmare, el tinde, de asemenea, la zero. Astfel, am demonstrat că linia este o tangentă. Stabilit sens geometric scurt derivat declarat după cum urmează:

Valoarea derivat este egală cu panta tangentei la graficul punctului cu abscisa.

Trebuie remarcat aici faptul că aceasta este o chestiune de definiție precisă și construcția tangenta la liniile a condus la stabilirea de Leibniz (împreună cu Newton) concepte derivate.

Documente conexe:

Sensul fizic al derivatului - skorostizmeneniyafunktsii la punct. Geometrică sens. derivat - existența funcției derivat într-un punct echivalent cu existența. Formula derivat al unei funcții compozit. Dacă o funcție complexă, atunci.

este skorostizmeneniyafunktsii medie spre linia. 1 se numește derivata unei funcții în direcția indicată. Deci - (1) - skorostizmeneniyafunktsii la punctul.

Sensul fizic al derivatului. Acesta descrie un derivat al ratei de schimbare a cantității fizice relative. La ce argumente de valoare sunt skorostiizmeneniyafunktsy și decizie. și. și. Folosind sensul fizic al derivatului.

conceptul de calcul diferențial, care caracterizează skorostizmeneniyafunktsii; AP este o funcție. definite pentru fiecare x. derivat continuu (diferențial calcul caracteristice skorostizmeneniyafunktsii la acest punct). Apoi.

există și este finită) skorostyuizmeneniyafunktsii va fi la punctul de direcția vectorului. Acesta. sau reprezintă și. Pe lângă valoarea skorostiizmeneniyafunktsii. și pentru a determina natura punctului în direcția vectorului izmeneniyafunktsii.