expansiune asimptotice

dezvoltarea asimptotică a funcției f (x) - o serie de funcții formale. astfel încât suma oricărui număr finit de termeni abordărilor seriei (aproximează) funcția f (x) într-o vecinătate a unui (eventual infinit) punctul limită. Conceptul de dezvoltarea asimptotică a funcției și seria asimptotică au fost introduse Anri Puankare în rezolvarea problemelor mecanicii cerești. Cazuri individuale de extinderi asimptotice au fost descoperite și aplicate în secolul XVIII. extinderi asimptotice și serii joacă un rol important în diverse probleme de matematică. mecanica si fizica.

definiție

funcţia Să # X03C6; n> satisface proprietatea: # X03C6; n + 1 (x) = o ( # X03C6; n (x)) # XA0; (x # X2192; L) # X2200; n # X2208; N (x) = o (\ varphi _ (x)) \ (x \ rightarrow L) \ quad \ forall n \ în \ mathbb> la un domeniu punctul L de limitare a funcției f (x). Secvența funcțiilor # X03C6; n>. care îndeplinesc aceste condiții se numește o secvență asimptotic. număr: # X2211; n = 0 # X221E; a n # X03C6; n (x) ^ a_ \ varphi _ (x)>. pentru care sunt îndeplinite următoarele condiții: f (x) # X2212; # X2211; n = 0 N # X2212; 1 a n # X03C6; n (x) = O ( # X03C6; N (x)) # XA0; (x # X2192; L) ^ a_ \ varphi _ (x) = O (\ varphi _ (x)) \ (x \ rightarrow L)>

f (x) # X2212; # X2211; n = 0 N # X2212; 1 a n # X03C6; n (x) = o ( # X03C6; N # X2212; 1 (x)) # XA0; (x # X2192; L). ^ A_ \ varphi _ (x) = o (\ varphi _ (x)) \ (x \ rightarrow L).>

Se numește expansiunea asimptotică a funcției f (x) sau seria asimptotic. Acest fapt se reflectă:

Spre deosebire de serii convergente și expansiunea asimptotice pentru funcția f (x) poate fi ilustrată după cum urmează: pentru serii convergente pentru fiecare fix x converge la o valoare a lui f (x) cu N # X2192; # X221E; . întrucât, în extinderea asimptotică a unui număr fix N converge la o valoare a lui f (x), în limita x # X2192; L (L poate fi infinit).

dezvoltarea asimptotică Erdelyi

expansiune asymptotic Erdelyi are o definiție mai generală. rând # X2211; n = 0 # X221E; a n # X03C6; n (x) ^ a_ \ varphi _ (x)> se numește o expansiune asimptotice functiei Erdelyi f (x). în cazul în care există o secvență asimptotică # X03C8; n>. că

f (x) # X2212; # X2211; n = 0 N a n # X03C6; n (x) = o ( # X03C8; N (x)) # XA0; (x # X2192; L). ^ A_ \ varphi _ (x) = o (\ psi _ (x)) \ (x \ rightarrow L).>

Acest fapt se înregistrează în forma următoare:

O astfel de extindere generalizată are multe proprietăți în comun cu extinderea asimptotică de obicei, dar teoria o astfel de extindere este prost inteleasa, de multe ori de utilizare puțin pentru calcule numerice și este rar folosit.