ecuatiile diferentiale si modelare matematică

In general vorbind, fiecare curbă a familiei (1.17) corespunde unei anumite valori. Este această diferite curbe ale familiei de la un altul. Noi pune problema: a crea o ecuație diferențială a acestei familii de curbe, care ar descrie caracteristici comune pentru toate curbele acestei familii.

Să presupunem că - derivabile. Să presupunem că (1.17) definește funcția noastră diferențiabilă: .., Adică, funcția (1.17) satisface condițiile teoremei existenței unei funcții implicite. Apoi, diferentierea (1,17), obținem

Dacă (1,18) nu, atunci va fi ecuația diferențială dorită a unei familii de curbe.

Dar excluderea (1.17), prin diferențierea este posibilă numai în cazuri speciale. În general, relația (1.18) conține. Apoi, puteți elimina parametrul, instituit un sistem de relații (1.17) și (1.18):

.

Rezultatul este o ecuație diferențială

care descrie proprietățile comune tuturor curbelor familiei (1.17).

Astfel. ecuație diferențială poate fi obținută din ecuațiile de parametri formale cu excepția familiei-un parametru al curbelor.

Reamintim existența teoremei funcția implicită, dacă funcția este continuă cu derivatele parțiale de ordinul întâi într-un cartier al punctului și, atunci există o vecinătate a punctului în care ecuația definește atât funcția de o singură valoare a: având următoarele proprietăți:

1) continuă cu;

EXEMPLU Exemplul 1. Crearea unei ecuații diferențiale a unei familii de parabole

R e w n e diferentieze (1,20):.,. Noi excludem din sistem:

Aceasta este ecuația diferențială dorită. Rețineți că aceste ecuații (1.21) și satisfac jumătățile de linii (), care nu sunt incluse în această familie de parabole.

În mod similar, ecuația diferențială de ordinul 2 poate fi obținut, excluzând parametrii planar familie cu doi parametri de curbe:

Diferențierea, obținem:

În cazul general (1,22), (1,23), nu poate fi exclusă nici permanentă, astfel încât prin diferențierea încă o dată, obținem:

Eliminarea din ecuațiile (1.22) - (1.24) și

și înlocuind (1.25) în (1.22) dă o ecuație diferențială de ordinul 2:

EXEMPLU Exemplul 2. Crearea unei ecuații diferențiale dintr-o familie de curbe:

. R e w n e Deoarece ecuația unei familii conține 2 parametru, atunci este diferențiabile de 2 ori, având în vedere că:

Și exclude din sistemul (1.27) - (1.29). Din ecuația (1.28), vom găsi și înlocui-l în (1.27). obține

Regula. Din ecuația (1.29) avem. Substituind acest lucru în (1.30), obținem ecuația diferențială dorită. Să transformăm această ecuație: sau sau.

Despre e t t în. Ecuația dorită.

În mod similar, ecuația diferențială de ordinul n-lea poate fi obținut prin eliminarea n-parametrii din familia parametrică a curbelor plane.

1.5 Interpretarea geometrică a ecuației diferențiale. Metoda isoclines solutii constructive aproximative

Să ne explicăm semnificația geometrică a unei ecuații diferențiale:

și considerând variabilele ca coordonatele si bidimensionala domeniului D - Domeniul funcției.

Să o soluție a ecuației (1.31). Apoi, sensul geometric al derivatului, calculat la (), rezultă că ecuația (1.31) determină în fiecare punct al valorii D a pantei tangentă la curba integrală și ,. Dar, în cazul în care, la fiecare punct al regiunii D este setat la o anumită valoare, atunci se spune că în regiunea D este setat la câmpul scalar de o asemenea magnitudine. Astfel, ecuația diferențială (1.31) definește un câmp de direcție tangentă (sau direcții de câmp).