Ecuațiile diferențiale care permit reducerea ordinului

În afară de ecuații de ordinul al doilea omogene și neomogene comune și de ordin superior cu coeficienți constanți, elevii obișnuiți au de multe ori pentru a face față cu alte persoane de clasă destul de mare diffurov: ecuații diferențiale admite o reducere de ordine.

Există trei tipuri principale de astfel de ecuații, ne uităm în mod constant la în această lecție. Pe ce bază sunt rezolvate aceste ecuații? Vechi ca al doilea volum al ecuațiilor - mata admite aproximativ o scădere, în cele din urmă redus la primele ecuații diferențiale de ordinul și integrarea cu metodele pe care trebuie să le cunoașteți deja din articolele mele.

Oamenii au adunat cu experiență, mare, deci nu vom efectua warm-up cu aruncat o minge de cauciuc din mână în mână, și imediat trecem la afaceri. Dar, de asemenea, ceainice pot alătura, nu am expulza ușa, și a pus link-uri către subiecte pe care le aveți lacune.

Metoda de re-integrare pe partea dreaptă

Să considerăm ecuația diferențială a formei în care - ordinul derivat „nth“, iar partea dreapta depinde doar de „X“. În cel mai simplu caz poate fi o constantă.

Această ecuație diferențială este rezolvată prin partea dreapta integrare succesivă. Și va trebui să se integreze fără probleme din nou.

În practică, cele mai populare specii este ecuația de ordinul al doilea :. Dublu integra partea dreapta și a obține soluția generală. Ecuația de al treilea ordin este necesară pentru a integra cele trei, etc. Dar diffurov patrulea și ordinele mai mari în exerciții practice, este ceva ce nu mai amintesc.

Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale

Soluție: Această ecuație diferențială este de forma.

Pentru a reduce gradul de ecuația de ordin:

Sau pe scurt: în cazul în care - constanta

Acum vom integra pe partea dreapta din nou, soluția generală:

Verificați soluția generală a acestei ecuații este de obicei foarte ușor. În acest caz, trebuie doar să găsească derivata a doua:

A primit ecuația diferențială inițială, atunci soluția generală este găsită corectă.

Pentru a rezolva ecuația diferențială

Acesta este un exemplu pentru soluțiile independente. Așa cum am menționat deja undeva, uneori diffur poate fi podshifrovan. În exemplul preferat trebuie mai întâi reduce ecuația formei standard. Soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Găsirea unei soluții special (problema Cauchy) are particularitatile sale proprii, pe care le vom examina în următoarele două exemple:

Găsiți o soluție particulară a ecuației corespunzătoare condițiile date inițiale

Soluție: Această ecuație are forma. Conform algoritmului, trebuie să integrați în mod consecvent de trei ori pe partea dreapta.

În primul rând vom reduce gradul ecuației la a doua ordine:

Prima integrală ne-a adus constantă. Ecuațiile de acest tip ratsionalnosrazu se aplică, de asemenea, condițiile inițiale adecvate.

Deci, ne-am găsit, și, în mod evident, la ecuația rezultată este condiția inițială adecvată.

În conformitate cu condiția inițială:

În etapa următoare vom lua al doilea grad integral și scăzând la prima ecuație comanda:

În conformitate cu condiția inițială:

Și, în sfârșit, a treia integrala:

Pentru a treia constantă utilizați ultimul cartuș:

Iepurii au fost plâng taxele de sare.

Raspuns: Solutia special:

Efectuați verificările, beneficiul, ea nenapryazhnye:
Verificați starea inițială:
- îndeplinit.

Noi găsim derivatul:

Verificați starea inițială:
- îndeplinit.

Găsim derivata a doua:

Verificați starea inițială:
- îndeplinit.

Găsim al treilea derivat:

Ecuația diferențială obținută inițial

Concluzie: lucrarea se face corect

Probabil, observăm următorul lucru: Care este ordinea ecuației - atât de multe constante. ecuație de ordinul doi are două constante în ecuația de ordinul trei - exact trei constante în ecuația de-a patra comanda este sigur de a fi exact patru constante, etc. Mai mult decât atât, acest lucru este valabil mai ales, în general, pentru orice diffura cel mai înalt ordin.

Găsiți o soluție particulară a ecuației corespunzătoare condițiile date inițiale

Acesta este un exemplu pentru soluțiile independente. Soluții complete și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Din când în când în ecuațiile diferențiale de acest tip trebuie să găsim integralele mai dificile folosesc o metodă de schimbare a variabilei. integrarea de piese. recurge la alte tactici. Am ales în mod deliberat un exemplu simplu, fără nici un labirintul să acorde mai multă atenție este soluțiile algoritmului.

Ecuația diferențială lipsește în mod explicit caracteristică

Cea mai simplă ecuație de acest tip într-o formă generală arată astfel:
- totul este acolo, iar „y“ nu este. Mai precis, nu este explicit. dar va apărea în cursul deciziei.

În plus, împreună cu „y“, într-o formă explicită poate fi lipsește primul derivat:
- aceasta este o ecuație de ordinul trei.

În plus poate fi absent și derivata a doua:
- ecuația celei de a patra ordine.

Și așa mai departe. Cred că au văzut un model, și va fi acum în măsură să determine o astfel de ecuație în exemple practice cu ușurință. În plus, în toate aceste ecuații prezintă întotdeauna variabilă independentă „X“.

De fapt, există o formulă generală, formularea strictă, dar încerc să evite parametrii care nu sunt necesare și alte bloat matematică, deoarece nu sunt lecții teoretice, dar practic. Și chiar și cu formula generală tocmai l-am citat nu sunt destul de complet din punct de vedere teoretic.

Cum de a rezolva aceste ecuații? Acestea sunt rezolvate printr-o foarte simpla înlocuire.

Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale

Soluție: în această ecuație de ordinul al doilea nu este în mod explicit variabila parte. Înlocuiți prima derivata a noii funcții, care depinde de „X“:

Înlocuirea Efectuat Scopul este evident - reduce gradul de ecuația:

Se obține ecuație liniară neomogenă a primului ordin. cu singura diferență fiind că în locul funcției de obicei „y“ avem o funcție de „Z“. Aproximativ vorbind, diferența este doar în scrisoarea.

Noi rezolva ecuația auxiliar:

Împărtășim variabile și să integreze:




Soluția generală a ecuației auxiliare:

Prin varierea constanta, vom face schimbarea în ecuația neomogenă:

O pereche de termeni în partea stângă este redusă, atunci suntem pe drumul cel bun:

Împărtășim variabile și să integreze:

Astfel, funcția de găsit. Aici, pentru a sărbători, puteți uita de un singur lucru, și se înregistrează în mod automat răspunsul. Nu, nu toate. Ne amintim că schimbarea a fost făcută la începutul lucrării, prin urmare, necesar să se efectueze înlocuirea inversă:

Soluția generală de restabilire a integrării:

În etapa finală a atras partizani „y“, care, după cum ne amintim, în ecuația diferențială nu este inclusă în mod explicit.

În cele mai multe cazuri, verificați și astfel de ecuații nu este dificil. Ia răspunsul rezultat, vom găsi primul și al doilea derivații:

Substituind primul și al doilea derivat din ecuația originală:

Se obține egalitate adevărată, înseamnă că soluția generală este găsită corectă.

Pentru a rezolva ecuația diferențială

Acesta este un exemplu pentru soluțiile independente. Soluții complete și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Acum, amintiți-vă la începutul lucrării. Prin substituirea ecuației am redus gradul de randament ecuație liniară neomogenă a primului ordin. Se pare că întotdeauna este o ecuație liniară prin înlocuirea? Acest lucru se întâmplă de multe ori, dar nu întotdeauna. După înlocuirea ecuației se poate transforma cu variabile separabile. ecuația de prim ordin omogen. precum și alte lucruri interesante.

Pentru a rezolva ecuația diferențială

Soluție: În această ecuație, al treilea ordin explicit nu participă, și prima derivată a funcției. Înlocuirea va fi foarte asemănătoare, cu „Z“ se referă la fratele său mai mic:

Astfel, ecuația redusă la ordinul întâi:

Desenați schimbarea inversă:

Această ecuație este deja familiarizat cu prima formă secțiune.

Dublu integra pe partea dreapta:

Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale

Acesta este un exemplu pentru soluțiile independente. După coborârea rândul său ecuația liniară neomogenă a primului ordin. care, în proba mea decis de Bernoulli. După cum se spune, întregul arsenal pentru a merge.

Ecuația diferențială
în mod explicit, nu este o variabilă independentă

Al treilea, un pic mai sofisticat tip de ecuație, care permite reducerea ordinului. Eu nu am de gând să atragă formulele generale - o trăsătură distinctivă a acestui diffura este că nu există nici o variabilă independentă explicită „X“. Adică, nu există nici un „lui X“ în ecuația diferențială inițială. În general, nu. Nu. Nicăieri.

Găsiți o soluție particulară a ecuației diferențiale care îndeplinește condițiile date inițiale
, ,

Soluție: În această ecuație nu în mod explicit variabila parte. Substituția este mai complicat. Primul derivat de a înlocui unele funcții încă necunoscute, care depinde de funcția de „y“. . Rețineți că funcția - este o funcție complexă. caracteristică externă - „Z“, funcția internă - „y“ ( „y“, în sine, este o funcție).

Având în vedere că, în cele din urmă obținem:

În principiu, vă puteți aminti această substituire în mod oficial și pe scurt:

Deci, în ecuația originală vom organiza nostru de înlocuire:

Scopul înlocuirii - din nou, pentru a reduce ordinea ecuației:

Un „Z“ tăiat imediat:

O ecuație cu mai multe variabile. În cazul în care - o funcție care depinde de „y“. primul derivat din semnele diferențiale după cum urmează:
. Noi nu presupunem mecanic greșeli - nu scrie „obișnuită“.

Împărtășim variabile și să integreze:

Desenați schimbarea inversă:

Ca și în primul paragraf, constanta este oportun de a trage imediat, acesta va facilita în mare măsură integrarea în continuare.

Noi folosim ambele în același timp, condițiile inițiale :,

Ecuația rezultată și substituind:

A doua constantă este, de asemenea, foc înapoi. Folosind condiția inițială, să efectueze o schimbare:

Ne exprimăm anumită soluție în formă explicită:

Raspuns: Solutia special:

Apropo, răspunsul este ușor de verificat.

Pentru a consolida materialul exemple de încheiere a vaporilor.

Găsiți o soluție particulară a ecuației diferențiale care îndeplinește condițiile date inițiale
, ,

Soluție: În această ecuație nu în mod explicit variabila parte. Cu toate acestea, nu există nici un prim derivat, dar nu trebuie confundat - este important că nu există nici un „X lui“. și, prin urmare, înlocuirea standard:

Astfel, gradul de ecuația se reduce la ordinul întâi:

împart variabile și să se integreze, nu uitați că:

Redenote constantă prin:
.

Desenați schimbarea inversă:

Noi folosim în același timp, atât condițiile inițiale, și pentru a găsi valoarea constantelor. În acest scop, ecuația obținută și substituind:

Împărtășim variabile și să integreze:

În conformitate cu condiția inițială:

Raspuns: Solutia special:

Găsiți o soluție la problema Cauchy.
, ,

Acesta este un exemplu pentru soluțiile independente.

Vă rugăm să rețineți că toate cele trei exemple vin cu ultimul paragraf al problemei Cauchy. Acesta nu este un accident. Specificul de tip considerate ecuațiilor diferențiale este că, dacă vă oferă pentru a găsi o soluție comună, trage un integralele complex, elaborate, și, uneori, chiar și în cele mai multe ecuații neberuschimsya. Prin urmare, aproape întotdeauna vi se va cere să găsească o soluție specială.

Există, de asemenea, unele tipuri de diffurov care să permită reducerea ordinului, dar, în practică, ele sunt nu am întâlnit niciodată, deși am schimba o minte o mulțime de ecuații diferențiale. Prin urmare, lecția a inclus doar acele exemple pe care le puteți întâlni de fapt.

Și acum e timpul să stea pe un pistol de unghii și du-te pentru a bea ceai.

Reducerea cu succes a grade de ecuații diferențiale!

Soluții și răspunsuri:

Exemplul 2: Soluție: transforma ecuația:
Acest control are forma. Dublu integra pe partea dreapta:


Raspuns: Solutia generala:

Exemplul 4: Soluție: transforma ecuația:
Această ecuație are forma. integreze pe partea dreapta de trei ori:

În conformitate cu condiția inițială:


În conformitate cu condiția inițială:


În conformitate cu condiția inițială:

Raspuns: Solutia special:

Exemplul 6: Soluție: în această ecuație nu include în mod explicit substituirea funcției remiză

Se obține ecuație liniară neomogenă a primului ordin. Noi folosim metoda de variație de constante arbitrare. Noi rezolva ecuația auxiliar:

Împărtășim variabile și să integreze:

Într-o ecuație neomogenă vom face schimbarea:


Astfel:

Contactați înlocuire:

Raspuns: Solutia generala:

EXEMPLUL 8: Soluție: substituție Egal

Am obținut o ecuație liniară neomogenă, înlocuind:

Componența și rezolvarea sistemului:
Din prima ecuație găsim:

- substitut în a doua ecuație:



Astfel:
Contactați înlocuire:

Dublu integra pe partea dreapta:


Aici, am falsificat un pic, integrala a logaritmului este luată în părți. și, strict vorbind, ultima necesitatea integrantă a picta mai mult.
Raspuns: Solutia generala:

Exemplul 11: Soluție: în această ecuație nu implică în mod explicit variabile, face schimbarea:

Contactați înlocuire:

În conformitate cu condițiile inițiale:


În conformitate cu condiția inițială:


Raspuns: Solutia special:

(Du-te la pagina de start)

de muncă de calitate, fără a plagiat - Zaochnik.com