Ecuații liniare și Inegalitățile

Romanishin Dean Solomonovna, matematica gimnaziu profesor №2 Khabarovsk

1. Ecuații cu o singură variabilă.

Egalitatea, care cuprinde o variabilă numită o ecuație cu o singură variabilă sau o ecuație cu o singură necunoscută. De exemplu, o ecuație cu o singură variabilă este ecuația 3 (2x + 7) = 4-1.

Rădăcina sau soluția ecuației este valoarea variabilei pentru care ecuația devine adevărată egalitate numerică. De exemplu, numărul 1 este o soluție de 2 + 5 = 8x-1. Ecuația x2 + 1 = 0 nu are nici o soluție, deoarece partea stângă a ecuației este întotdeauna mai mare decât zero. Ecuația (x + 3) (4-x) = 0 are două rădăcini: x1 = 3, x2 = 4.

Rezolva ecuația - înseamnă a găsi toate rădăcinile sale sau pentru a dovedi că rădăcinile nu.

Ecuațiile se numesc echipotente dacă toate rădăcinile prima ecuație sunt rădăcinile a doua ecuație, și invers, toate rădăcinile a doua ecuație sunt rădăcinile prima ecuație sau, dacă ambele ecuații nu au rădăcini. De exemplu, ecuația x = 8 și 2 x 20 + 10 = echivalent, deoarece rădăcina prima ecuație x = 10 este rădăcina și a doua ecuație, ambele ecuații au una rădăcină.

Următoarele proprietăți sunt utilizate pentru a rezolva ecuațiile:

Dacă ecuația pentru a trece termenul dintr-o parte în alta, schimbarea semnul său, atunci veți obține ecuația care sunt echivalente cu acest lucru.

În cazul în care ambele părți ale ecuației înmulțit sau împărțit la același număr de zero, veți obține o ecuație echivalentă cu acest lucru.

Ecuația ax = b, unde x - variabila, a și b - sunt numere, se numește o ecuație liniară cu o singură variabilă.

Dacă a = 0, b = 0, atunci ecuația satisface orice valoare a lui x.

Dacă a = 0, b¹0, atunci ecuația nu are nici o soluție, întrucât 0x = b nu este satisfăcută pentru orice valoare a variabilei.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația: -8 (11-2h) + 40 = 3 (4-5x)

Să ne deschidem parantezele de pe ambele părți ale ecuației, se transferă toți termenii cu x în partea stângă a ecuației, iar termenii nu conțin x, pe partea dreapta, obținem:

Exemplul 2: rezolva ecuația:

Aceste ecuații nu sunt liniare, dar arată cum să rezolve astfel de ecuații.

Pentru factor partea stângă a ecuației:

x2 (x2) -9 (x2) = (x2) (h2-9) = (x2) (3-x) (x-3), adică, (X-2), (x-3) (x + 3) = 0. Acest lucru arată că soluțiile acestei ecuații sunt x1 = 2, x2 = 3, și x3 = -3.

c) reprezintă 7x ca 3x + 4, atunci avem: x 2 + 3 + 4 + 12 = 0, x (x + 3) 4 (x + 3) = 0, (x + 3) (x + 4) = 0, deci x1 = 3, x2 = - 4.

Exemplul 3. Rezolvați ecuația: 1 + jumătate de orăç+ 1-o jumătate de orăç= 3.

De exemplu: ½3½ = 3, ½0½ = 0, ½- 4½ = 4.

În această ecuație, semnul modulului sunt numerele x 1 și x + 1. Dacă x este mai mică decât -1, numărul x + 1 este negativ, + 1 ½ = jumătate de oră -x-1. Dacă x> -1, apoi + 1 ½ = jumătate de oră x + 1. Pentru x = -1 + 1 ½ = jumătate de oră 0.

014.gif „>, numărul apartine x £ -1.

b) Să -1 <х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

c) Să considerăm cazul x> 1.

016.gif „>. Acest număr aparține x> 1.

Răspuns: x1 = -1.5; x2 = 1,5.

Exemplul 4. Rezolvați ecuația: + 2 ½ + jumătate de oră = 3½h½-1½ 2 ^ h.

Vom arăta o formă scurtă a soluției ecuației, dezvăluind semnul „lacunelor“ ale modulului.

x £ -2, - (x + 2) = -2 -3 H (x-1) - 4 = 4, x = -2Î(- ¥; -2]

-2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

x> 1, x + 2 + 3 = 2 (x-1) = 2 - 4, x = -2Ï(1 + ¥)

Exemplul 5 rezolva ecuația: (a-1) (a + 1) = x (a-1) (a + 2) pentru toate valorile parametrului a.

În această ecuație de fapt două variabile, să zicem x, dar necunoscut, și bine-parametru. Necesare pentru a rezolva ecuația cu privire la x, pentru orice valoare a parametrului a.

Dacă a = 1, atunci ecuația are forma 0 x x = 0, această ecuație este satisfăcută orice număr.

Dacă a = 1, atunci ecuația are forma 0 x x = 2, această ecuație nu satisface orice număr.

Răspuns: Dacă, atunci x = 1 - orice număr;

în cazul în care a = 1, atunci nu există soluții;

2. Sistemul de ecuații cu două variabile.

Rezolvarea sistemului de ecuații cu două variabile este o pereche de valori ale variabilelor accesate de fiecare ecuație a sistemului în adevărata egalitate. Rezolva sistem - mijloace pentru a găsi toate soluțiile sale, sau pentru a dovedi că acestea nu sunt. Două sisteme de ecuații se numesc echipotente dacă fiecare decizie a primului sistem este o soluție de-al doilea sistem și fiecare decizie de-al doilea sistem este prima soluție a sistemului, sau ambele nu au soluții.

utilizeze metoda de substituție și adăugarea de metode de rezolvare a sistemelor liniare.

Exemplul 1: rezolva sistemul de ecuații:

023.gif „> în a doua ecuație, obținem

Exemplul 2: rezolva sistemul de ecuații:

Pentru a rezolva acest sistem de ecuații este metoda plus aplicabilă. 8x = 16, x = 2. Substituind valoarea x = 2, în prima ecuație, obținem 10 y = 9, y = 1.

Exemplul 3. Pentru a rezolva sistemul de ecuații:

Acest sistem este echivalent cu 2x + y singura ecuatie = 5, deoarece a doua ecuație se obține din prima înmulțirii prin 3. Prin urmare, satisface orice pereche de numere (x; 5-2h). Sistemul are un număr infinit de soluții.

A: (x; 5-2h), x este orice.

Exemplul 4 Pentru a rezolva sistemul de ecuații:

Se înmulțește prima ecuație de -2 și se adaugă a doua ecuație, obținem 0 x 0 + x x y = -6. Această ecuație nu satisface nici o pereche de numere. Prin urmare, acest sistem nu are nici o soluție.

Raspuns: Sistemul nu are soluții.

Exemplul 5 Solve sistemului:

Răspuns: când = -2sistema nu are nici o soluție,

Exemplul 6 Pentru a rezolva sistemul de ecuații:

Ni se dă un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute. Vom aplica metoda Gauss, care este echipotente transformări care conduc sistemul la o formă triunghiulară. Adăugați a doua la prima ecuație înmulțită cu -2.

Apoi, a treia ecuație, în al doilea add înmulțit cu -3,

În cele din urmă se adaugă la această ecuație, ecuația y-z = -1, înmulțit cu 2, obținem un - 4z = -12, z = 3. Deci, vom obține un sistem de ecuații:

z = 3, care este echivalentă cu aceasta.

Un sistem de acest tip este numit un triunghi.

3. Rezolvarea problemelor prin intermediul unor ecuații și sisteme de ecuații.

Vom arăta de exemplu, cum să rezolve problemele folosind ecuații și sisteme de ecuații.

Exemplul 1. Un aliaj de staniu și cupru cântărind 32 kg conține 55% staniu. Cum pur staniu să fie adăugate aliajului la schsoderzhalos 60% aliaj de staniu în noi?

Decizie. Lăsați masa de staniu adăugat la aliajul de pornire este X kg. Apoi, masa de aliaj (32 + x) kg va conține 60% staniu și 40% cupru. Aliajul mamă conține 55% staniu și 45% cupru, adică Cu ea a fost de 0,45 · 32 kg. Deoarece masa de cupru în aliaje originale și noi este același, obținem ecuația de 0,45 · 32 = 0,4 (32 + x).

Prin rezolvarea acestei, găsiți x = 4, adică, în aliajul trebuie adăugat 4 kg staniu.

Exemplul 2. Este conceput două cifre număr, care numără zeci de cifre mai mici de 2 unități. În cazul în care acest număr este împărțit la suma cifrelor sale în privat și va transforma 4 în restul 6. Ce număr este conceput?

Decizie. Lăsați numărul de unități este x, atunci cifra zecilor este egală cu 2 x (x> 2) are forma concepută numărul 10 (x-2) = x + 11x-20. Suma cifrelor de x = x 2 + 2x-2. Prin urmare, divizarea 11x-20 2-2, obținem în particular la reziduu 4 și 6. egalează: 11x-20 = 4 (2x-2) 6, ca dividendul este un divizor înmulțit cu coeficientul plus restul. Rezolvarea acestei ecuații, obținem x = 6. Astfel, numărul 46 a fost conceput.

Exemplul 3. Trei sertar umplut cu nuci. În a doua cutie nuci cu 10% mai mare decât în primul și 30% mai mult decât în a treia. Câte nuci în fiecare cutie, în cazul în care, în primele 80 de nuci mai mult decât în a treia?

Decizie. Să prima cutie a fost nuci, în al treilea - y. Apoi, în a doua cutie a fost x = + 0,1 x 1,1h sau y + 0,3y = 1,3y. Având în vedere că prima cutie au fost de 80 de nuci mai mult de o treime de luare a sistemului de ecuații:

048.gif „>. În cazul în care y = 440, x = 520, 572 = 1,1h.

Notă. Puteți rezolva această problemă, fără a face sistemul de ecuații. Să presupunem că în prima casetă a fost x nuci, în timp ce în al treilea - X-80, în al doilea - 1,1h sau 1.3 (x-80). Avem ecuația: 1,1h = 1,3 (x-80) x = 520.

Răspuns: în prima cutie de nuci a fost 520, în al doilea - 572, al treilea - 440.

Exemplul 4. Dintre cele două orașe A și B distanțate 180 km, în 6 ore și 20 minute. Am ieșit să se întâlnească autobuze și autoturisme. Întâlnirea lor a avut loc la 7 ore 50 min. În cazul în care autobuzul a ajuns la 1 oră și 15 minute. mai devreme, si o masina timp de 15 minute. mai târziu, s-ar întâlni la 7 ore 35 min. Care este viteza de autobuz și mașină?

Decizie. Fie V1 viteza de autobuz km / h, viteza V2 masina km / h. De la întâlnirea lor a avut loc după 1,5 ore, atunci avem ecuația: 1,5V1 + 1,5V2 = 180. În cazul în care autobuzul a ajuns la 1 oră 15 minute. mai devreme, el ar fi fost pe drum timp de 2 ore și 30 minute. (7 ore 35 min. - 5 min 5 h 2 = h 30 min ..). În cazul în care o mașină a ieșit timp de 15 minute. mai târziu, el va fi în mod 1 h (7 h 35 min -.. 6 ore 35 minute = 1 oră). Obținem ecuația: 2,5V1 + V2 = 180.

Astfel, avem un sistem de două ecuații cu două necunoscute:

050.gif „>, unde V1 = 40 km / h V2 = 80 km / h.

Răspuns: 40 kilometri pe oră, la 80 km / h.

4. inegalități liniare într-o singură variabilă.

Dacă variabila x pentru a da orice valoare numerică, obținem inegalitatea numerică, exprimând fie o afirmație adevărată sau falsă. Să presupunem, de exemplu, având în vedere inegalitatea 5x-1> 3 + 2. Când x = 2 obținem 5 · 2.1> 3 · 2 + 2 - declarație adevărată (vorbire numerică corectă); când x = 0 obținem 5 · 0-1> 3 · 0 + 2 - o declarație falsă. Orice valoare a variabilei la care această variabilă inegalitate devine adevărată inegalitate numerică se numește o soluție de inegalitate. Rezolva variabila inegalitate - înseamnă a găsi setul tuturor deciziilor sale.

Două inegalități cu o singură variabilă x este declarat a fi echivalente dacă setul de soluții ale acestor inegalități coincid.

Ideea de bază a soluției de inegalitate este urmatoarea: înlocuim această inegalitate este o alta, mai simplă, dar echivalentă până în prezent; inegalitatea rezultată este din nou înlocuită cu inegalitatea echivalentă mai simplu pentru el, etc.

Astfel de substituții sunt făcute pe baza următoarelor afirmații.

Teorema 1. În cazul în care oricare membru al inegalității cu o singură variabilă pentru a trece dintr-o parte a celuilalt cu semnul opus, lăsând neschimbat semnul inegalității, obținem inegalitatea este echivalentă cu acest lucru.

Teorema 2. Dacă ambele părți ale unei variabile multiplicate sau împărțit același număr pozitiv, în timp ce lăsând neschimbat semnul inegalității, obținem o inegalitate echivalentă cu acest lucru.

Teorema 3. Dacă ambele părți ale inegalității cu o singură variabilă multiplicată sau împărțit același număr negativ, schimbarea semnului de inegalitate este inversată, obținem inegalitatea este echivalentă cu acest lucru.

Liniar inegalitate numit tip ax + b> 0 (respectiv, ax + b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

Exemplul 1. Rezolva inegalitățile 2 (x-3) 5 (1-x) ³3 (2h-5).

Scoaterea paranteze, vom obține 2x + 6 5-5h³6h-15

Gratuit de la numitorii, care multiplica ambele părți ale unui număr pozitiv 6, lăsând neschimbat semnul inegalității.

Ultima inegalitate este adevărată pentru orice valoare a lui x, deoarece pentru orice valoare a variabilei x se obține o adevărată declarație 0> -55. Prin urmare, o mulțime de decizii sale este întreaga linie reală.

Exemplul 3. Rezolva inegalitatea:-o jumătate de oră 1½<3.

Pe baza acestei inegalități modul de determinare poate fi scrisă ca o combinație a două sisteme de inegalități

rezolvarea acestui set obținem (2), astfel încât o soluție din această inegalitate este intervalul (-2, 4).

Exemplul 4. Rezolva inegalitatea: + 1 ½ jumătate de oră> 2.

aici x> 0.5 a primului sistem și al doilea sistem - nu soluții.

5. Un sistem și un set de inegalități.

Se spune că unele inegalități cu o singură variabilă formează un sistem, în cazul în care sarcina este de a găsi o mulțime de soluții comune inegalități date.

Valoarea variabilei în care fiecare sistem de inegalități devine inegalitate numit sistem corectă soluție numerică a inegalităților.

Soluția stabilită a unui sistem de inegalități este intersecția dintre seturile de soluții de inegalități, formând sistemul. Inegalitatile sistem de formare, bretele combinate.

Se spune că unele inegalități cu o singură variabilă formează un set, în cazul în care sarcina este de a găsi o mulțime de aceste decizii, fiecare dintre acestea fiind o soluție de cel puțin una dintre aceste inegalități.

Valoarea variabilei, în care cel puțin una dintre inegalitățile care formează pluralitatea desenată în inegalitatea numerică corectă, numită în mod colectiv o soluție de inegalități.

076.gif „> înseamnă că inegalitatea formează un set.

Sarcini pentru decizia independentă

Următoarele sarcini sunt sarcinile de control. Este necesar să se rezolve toate problemele, cu toate acestea, în cazul în care nu este în măsură să trimită cele rezolvate. Reguli de înregistrare a lucrărilor, a se vedea în articolul introductiv.

M9.1.1 rezolva ecuația:

M9.1.3 identifica în ce parametru valorile și ecuația nu are nici o soluție:

M9.1.5 Dacă toate valorile parametrilor și sistemul are infinit mai multe soluții?

M9.1.6 Pentru a rezolva problema:

a) un aliaj constând din zinc și cupru, conținută în ea în raportul 1: 2, iar celălalt cuprinde același aliaj de metale într-un raport de 2: 3. Câte bucăți de ambele aliaje pot primi a treia aliaje care conțin aceste metale față de 17:27?

b) distanța dintre dane A și nava se duce în jos pe râu, timp de 5 ore, și împotriva fluxului timp de 6 ore. De câte ore înoată plută distanță în aval?

M9.1.9 Găsiți sisteme geometrii inegalitățile și cel puțin un tip de soluții de înregistrare: