Ecuația pătratică; numere imaginare și complexe

ecuația de gradul doi, numere imaginare și complexe

ecuație algebrică de gradul 2 este, de asemenea, numit un pătrat. Forma cea mai generală a unei ecuații pătratice cu un necunoscut este,

unde a, b, c - numărul de date sau expresii literale care conțin cantități cunoscute (coeficientul de nu poate fi zero, altfel ecuația de gradul doi nu vor, și nivelul 1). Împărțind ambele părți printr-o, obținem ecuația

(P = b / a; q = c / a).
ecuația pătratică a acestei forme este numită redusă; ecuația ax 2 + bx + c = 0 (în cazul în care un ≠ 0), numit neredus. Dacă una dintre valorile b, c sau ambele sunt zero, o ecuație pătratică este numit incomplet; și dacă a și b sunt nu este zero, o ecuație pătratică se numește completă.

exemple
3x 2 + 8x -5 = 0 - neredus ecuație pătratică completă;
3x la 2 - 5 = 0 - incompletă ecuație pătratică unactuated;
x 2 - ax = 0 - dat incomplet ecuație pătratică;
x 2 - 12x +7 = 0 - completează dată ecuația pătratică.

Ecuația pătratic incompletă a formei

x 2 = m (m - o valoare cunoscută)

Acesta este cel mai simplu tip de ecuație pătratică și totuși ocru importantă, deoarece oferă o soluție la toate ecuația de gradul doi. Soluția acestei ecuații are forma

Trei cazuri sunt posibile:

1) În cazul în care m = 0, atunci x = 0.

2) În cazul în care m - număr pozitiv, rădăcina pătrată poate avea două valori, unul pozitiv și celălalt negativ. Valorile absolute ale acestor valori sunt identice. De exemplu, ecuația x 2 = 9 este satisfăcută valoarea x = + 3 și x = - 3. Cu alte cuvinte, x are două valori: +3 și - 3 Adesea, acest lucru este exprimat în faptul că, înainte de postura radical două caractere - plus și minus.

Cu această scriere se înțelege că expresia se referă la valoarea absolută totală a rădăcinoase două valori; în exemplul nostru - 3. Valoarea numerică poate înregistra mare irațional. Rețineți că m poate fi ea însăși un număr irațional. De exemplu, să presupunem că doriți să rezolve ecuația

(Geometric acest lucru înseamnă să găsească lungimea pătrat egal în zona cercului de rază 1). Rădăcina lui x = √π.

3) În cazul în care m - număr negativ. atunci ecuația 2 x = m (de exemplu, x = 2 - 9) de nu poate avea nici pozitiv și nici o rădăcină negativă: pentru ambele numere pozitive și negative pentru Cuadratura dă un număr pozitiv. Astfel, se poate spune că ecuația x = 2 - 9 nu are nici o soluție, adică, numărul nu există.

Dar, cu aceeași bază, înainte de introducerea unor numere negative, am putea spune că 2x ecuația + 6 = 4 nu are soluții. Cu toate acestea, după introducerea de numere negative, această ecuație a devenit rezolvabile. In mod similar, ecuația x = 2 - 9, care nu are soluții includ numere pozitive și negative, devine solubil după introducerea de noi variabile - rădăcina pătrată a numerelor negative. Aceste valori au fost introduse de către matematicianul italian Cardano în mijlocul secolului al 16-lea, în legătură cu soluția ecuației cubice. Cardan numit numărul de "sophistically" (Vol. E. "Tricky"). Descartes în anii '30 ai secolului al 17-lea a introdus numele de „numere imaginare“, care, din păcate, sunt încă deținute. În cifre de contrast imaginar cunoscut anterior numere (pozitive și negative, inclusiv irațională) a devenit cunoscut valabil sau reale. Cantitatea de numere reale și imaginare se numește un număr complex * .Chasto și numere complexe sunt numite imaginare.

Să considerăm numerele imaginare, putem spune că incomplet pătratic ecuația x = m 2 are întotdeauna două rădăcini. Dacă m> 0, rădăcini sunt reale, ele au aceeași valoare absolută și diferită în semn. Dacă m = 0, ele sunt ambele egale cu zero; în cazul în care m