Ecuația caracteristică a matricei - studopediya

Luați în considerare modul de a găsi coordonatele vectorilor proprii ale lui A. matrice dat A în unele baza e l. Definiția 2. RO Rn.

Lăsați vectorul x = (x1. X2, ..., xn) este un vector propriu al operatorului A. l eigenvalue corespunzătoare. Apoi, (12.1) poate fi rescrisă sub formă de matrice ca

unde E - matricea identitate. dacă

matricea A. ultima ecuație corespunde unui sistem omogen de n ecuații

în n necunoscute x1. x2, ..., xn - coordonata vectorului propriu x. Suntem interesați numai în soluție non-trivială a acestui sistem, și anume. A. Vector x trebuie să fie diferit de zero. Acest lucru este posibil, dacă și numai dacă rangul matricei sistemului (12.2) mai mic decât numărul de necunoscute, care este echivalentă cu dispariția determinantul sistemului, adică. E.

Definiția 12.4. Ecuația (12.3) se numește caracteristic ecuației neniem matrice A. Este condiția care trebuie să fie îndeplinite toate autovalorile A. Partea stângă a ecuației caracteristice (12.3) este un polinom de gradul n. numit polinom caracteristic matricei A. Pentru fiecare dintre l0 sale de top eigenvector ale căror coordonate sunt determinate de sistemul (12.2) corespunzătoare după înlocuirea în ea în loc de l valori l0.

Iată câteva exemple de a găsi și vectorii proprii ale unor operatori valorile proprii corespunzătoare.

Exemplul 1. Găsiți vectori și valori proprii

Decizie. Noi formează ecuația caracteristică a matricei A și de a găsi rădăcinile sale:

Când l1 = 1, în conformitate cu (12.2), obținem sistemul de ecuații

În mod similar, l2 = - 2 avem

În mod similar, l3 = 3 avem

Astfel, această matrice A = 1 valori proprii l1, l2 = - 2 și l3 = 3, iar vectorii proprii normalizați corespunzătoare au forma