Dreapta și stânga trei vectori

Definiția. Trei vector non-coplanare, luate în această ordine și atașat la un singur punct, numit vectori triple o. b. c.

Privim capătul vectorului c pe planul definit de vectorii a și b. Dacă cel mai scurt redresare dintr-un vector la vector b se face invers acelor de ceasornic, apoi triplul vectorilor o. b. c se numește dreptul, în cazul în care rotația are loc într-o a spus sensul acelor de ceasornic, o tripla. b. c se numește stânga. Toate triplete vector dreapta (sau stânga) sunt numite identic orientate. Dacă un triplu este drept, iar celălalt - stânga, ele sunt numite tripleți cu orientări diferite. În cazul dat trei non-coplanare vectorilor a. b și c. Ele formează un 6 triplete: a. b. c; b. c; o; c. a. b având unul de orientare (vectori permutare circulară), și b. a. c; a. c. b; c. b. au o orientare diferită (permutarea din cei doi vectori).

Definiția. Cartezian sistem numit dreptul de coordonate, în cazul în care triplul vectori de bază i. j. k se numește dreapta și la stânga, în cazul în care trio-ul din stânga. În cele ce urmează considerăm doar sistemul de coordonate dreptaci.

produs Vector

Definiția. Produsul vectorial al unui vector într-un vector este numit un vector treia b [a. b], care îndeplinesc următoarele condiții:

• 1) | [a. b] | = | A | | B | păcat φ, unde φ - unghiul dintre vectorii a și b;
• 2) vectorul [a. b] este perpendicular pe fiecare dintre vectorii a și b;
• 3) tripla (a. B. [A. B]) este un dreptaci.

produs Vector indica, de asemenea, a x b.

Condiția 1) definiția pe care

unde S - suprafața paralelogramului format prin vectorii a și b. atunci

unde e - un vector unitate în direcția vectorului [a. b].

O condiție necesară și suficientă a coliniarității a doi vectori. Vectorii a și b sunt coliniari dacă și numai dacă, atunci când

Dovada. # 9633; În cazul în care vectorul a și b sunt coliniari, atunci = 0 cp sau π = cp, atunci păcatul φ = 0, și, în consecință, | [a. b] | = 0, ceea ce înseamnă [a. b] = o.

Invers, dacă ecuația [a. b] = 0 și ≠ 0, b ≠ 0, atunci cp = 0 sau = π cp, prin urmare, vectorul a și b sunt coliniari. # 9632;

Proprietățile produsului vectorial

Notă. Această formulă poate fi exprimată în termeni de determinant simbolic al treilea ordin:

Corolar. Aria paralelogramului formată de vectori a și b. Se calculează cu formula

Corolar. Aria triunghiului ABC este definit prin formula:

Produsul mixt al vectorilor

Luați în considerare trei vectori o. b. c. Vectorul se multiplica un vector pentru b. apoi produsul vectorial [a. b] scalar multiplica c. Rezultatul este un număr, care se numește produs mixt [a. b] c trei vectori o. b. c.

Teorema [sens geometric al produsului mixt]. Produsul mixt al [a. b] c trei vectori necoplanare egal cu volumul unui paralelipiped, format de vectorii ,, luate cu semnul plus dacă triplă (a b c ..) - dreapta, cu semnul minus, dacă acest triplu - la stânga.

Dovada. # 9633; Să considerăm paralelogramului format de vectorii care stau la baza cutiei menționat. Suprafața sa este de S = | [a, b] |, atunci putem scrie [o. b] = Se. prin urmare, [a. b] c = (Se) c = S (ec). Să ne găsim ec = | e | = prec prec. Pe de altă parte pRec = ± h. unde h - înălțimea cutiei, a scăzut la OADB de bază. Semnul plus este obținut prin (a b c ..) - dreptaci, semnul minus în cazul în care acest trio a plecat. atunci

Corolar. Vectori a. b. c sunt coplanari dacă și numai dacă produsul lor mixt este egal cu zero, adică,

Corolar. egalitatea

Notă 1. Ca o consecință a acestui fapt este adevărat, atunci produsul mixt stativ pentru ABC.

Notă 2. Pentru cei trei vectori o. b. c au

Teorema. produs în amestec a trei vectori

- Această expansiune a determinantului al treilea ordin al elementelor al treilea rând. # 9632;

Consecință [condiție necesară și suficientă pentru coplanaritate a trei vectori]. Trei vectorului a. b. c sunt coplanare dacă și numai dacă îndeplinește