Dovedește identitatea trigonometrice pitagoreice

Identitatea trigonometrică pitagoreică este următoarea ecuație:

sin2 α + cos2 α = 1

Acest lucru înseamnă că, într-un triunghi dreptunghic suma pătratelor sinus și cosinus din același unghi ascuțit este egal cu unu.

Să ne dovedesc această identitate trigonometrice. Având în vedere un triunghi dreptunghic ABC (∠C = 90º). Am trage la înălțimea CH ipotenuzei.

Ne exprimăm picioarele triunghiului ABC de cosinus. Deoarece cos A = AC / AB, atunci

Deoarece cos B = BC / AB,

Acum, ia în considerare triunghiul ACH. Are dreptate, t. Pentru a. CH ⊥ AB. AS în acest triunghi este ipotenuzei. Apoi cos A = AH / AC. Ne exprimăm aici AH segmentul:

Înlocuim segmentul AC valoarea sa exprimată anterior de cosinusul unghiului Un triunghi ABC. obținem:

AH = (AB · cos A) · cos A = AB · cos 2 A

Acum, ia în considerare triunghiul BCH. Acesta cos B = BH / BC. Ne exprimăm BH BC și înlocuiți valoarea sa găsit în triunghiul ABC:

BH = AB · cos 2 B

Lungimea AB este suma lungimilor AH și BH:

Înlocuiți AH și BH pe expresiile lor în ceea ce privește cosinusului:

AB · cos 2 A + AB · cos 2 B = AB
AB · (cos 2 A + cos 2 B) = AB
cos 2 A + cos 2 B = 1

După cum se știe, un triunghi dreptunghic este egal cu cosinusul unghiului ascuțit altul de același tip sinus triunghi al unghiului ascuțit. În acest caz:

În consecință, în identitatea cos A + cos 2 2 B = 1, putem înlocui cosinusul unghiului B pe sinusul Astfel unghiul A. obținem:

cos 2 A + cos 2 B = 1
cos 2 A + (cos B · cos B) = 1
cos 2 A + (sin A · păcat A) = 1
2 cos 2 A + sin A = 1

Astfel, suma pătratului cosinusul unghiului și pătratul sinusul unghiului este egal cu unitatea, după cum este necesar.