diferențiabilității funcțiilor

Funcția y = f (x) este numit diferențiabile la un punct x0. dacă are în acest moment un derivat specific, și anume în cazul în care limita raportului există și este finită.

Dacă funcția este diferențiabilă în fiecare punct al intervalului [a; b] sau intervalul (a, b), spunem că este derivabila pe [a; b] sau, respectiv, intervalul (a, b).

Următoarea teoremă stabilește o conexiune între funcții continue derivabile.

Teorema. Dacă funcția y = f (x) este derivabila la un punct x0. atunci este continuă, în acest moment.

Dovada. În cazul în care. ce

unde # 945; cantitate infima, adică, valoare se apropie de zero # 916; x → 0. dar apoi

Astfel, din cauza funcției diferentiabilitate urmează continuitatea.

Astfel, punctele de discontinuitate ale funcției nu poate fi derivată. Reciproca nu este adevărată: există funcții continue, care, la anumite puncte nu sunt diferențiabile (adică, nu au nici un derivat de la aceste puncte).

Luați în considerare punctul A în figură, b, c.

În momentul în care un # 916; x → 0 raport nu limitează (ca limite verso sunt diferite sub # 916; x → 0-0 și # 916; x → 0 + 0). La punctul Un program este nici o tangentă, dar există două diferite tangente cu o singură față, cu pante K1 și K2. Acest tip de puncte numite puncte de colț. La punctul B la # 916; x → 0 raport este infinit valoare mare de semn constant. Functia are un derivat infinit. În acest moment, graficul are o tangenta verticală. Punct de tip - „punct de inflexiune“ c tangenta verticală.

La litera c sided derivați sunt infinit cantități mari de diferite semne. În acest moment, programul a fuzionat două tangenta verticală. Tip - „punct fără întoarcere“, cu o tangenta verticală - un caz special al punctului de colț.

1. Luați în considerare funcția y = | x |. Această funcție este continuă la x = 0, deoarece .

Vom arăta că nu are nici un derivat de la acest punct.

Dar atunci când # 916; x <0 (т.е. при Δx стремящемся к 0 слева)

şi când # 916; x> 0

astfel atitudine cu # 916; x → 0 pe dreapta și pe stânga are diferite limite, ceea ce înseamnă că limita nu este legată, de exemplu, derivat al funcției y = | x | la punctul x = 0 nu există. Geometric, acest lucru înseamnă că, la x = 0, aceasta „curba“ nu are nici o tangentă (la acest moment sunt două).