Determinarea soluțiilor totale SLU

Sistemul de ecuații se numește soluția generală a sistemului de îmbinare a1x1 + A2x2 + ... + anxn = B (1), în cazul în următoarele condiții:
A1'x1 + A2'x2 + ... + An'xn = B (2)
System (2) o soluție chim generală. (1)
condiții: 1) sistemul (1) și (2) trebuie să fie echivalentă cu
2) sistemul de vectori A1, A2. O privire. Ecuațiile (2) yavl. Permisă de vectorii

Un set de necunoscute ale sistemului de ecuații (1) sunt numite de bază, dacă vectorii pentru aceste necunoscute formează baza sistemului A1A2 ... An
nici un necunoscut de bază se numește liber.

LES Omogene. Proprietăți SLE omogenă. Teorema de zero și soluții nenule SLU,

sistem sistematic omogen, în care toți termenii constante sunt zero.

Teorema soluțiilor nenule ale sistemului omogen:

• Pentru a se asigura că sistemul de ecuații omogene au o soluție nenulă, este necesar și suficient ca rangul r matricea sa de bază a fost mai mic decât numărul de necunoscute n, t. E. R

Să presupunem că sistemul, al cărui rang este egal, are o soluție nenulă. Evident, asta nu depășește. În cazul în care sistemul are o soluție unică. Deoarece sistemul de ecuații liniare omogene are întotdeauna soluția banală, este o soluție de zero și este aceasta singura soluție. Astfel, soluțiile nenuli sunt posibile numai atunci când.

Corolar 1: Sistemul omogen de ecuații, în care numărul de ecuații este mai mic decât numărul necunoscutelor are întotdeauna o soluție nenulă.

Dovada: În cazul în care sistemul de ecuații. gradul de sistem este mai mic decât numărul de ecuații. și anume . Astfel, condiția și, prin urmare, sistemul are o soluție nenulă.

Corolar 2: Sistemul omogen de ecuații cu necunoscute are o soluție nontrivial dacă și numai dacă determinantul său este zero.

Dovada: Să presupunem că un sistem de ecuații omogene lineare a căror matrice cu determinant. Are o soluție nenulă. Apoi, prin teorema. ceea ce înseamnă că matricea este degenerat, adică,

• În ordine ecuații chtobyodnorodnaya sistemanlineynyh cu n necunoscute au avut soluții nenule dacă și numai dacă D său determinant este egal cu zero, adică. E. D = 0.

Teorema privind numărul de soluții liniar independente ale omogene SLE

Numărul de soluții liniar independente ale omogene LES nu depășește numărul de n-r (A).

Sistemul fundamental de soluții de omogene SLE

Sistemul fundamental de soluții (SDF) este un set de soluții liniar independente ale sistemului omogen de ecuații.

Sistem de F1, F2 ... Fk numit SDF în cazul în următoarele condiții:

a) vectorii F1, F2..Fk liniar independente

b) k = n-r (A) - numărul de soluții egale cu valoarea diferenței și necunoscutelor sistem de rang

Teorema despre condiția existenței SLE omogene SDF

Orice ecuație diferențială liniară omogenă a coeficienților de ordine n-lea are un sistem fundamental continuu, adică sistem de n soluții liniar independente.