Determinarea funcțiilor trigonometrice pentru orice unghi de la 0 la 180 °

Până în prezent, sinus, cosinus și tangenta sunt definite numai pentru unghiurile acute. Acum, noi le definim pentru orice unghi de la 0 la 180 °. Să considerăm un cerc în planul xy cu centrul de origine și raza R (figura 1).

Să $ \ alpha $ - un unghi ascuțit pe care OA raza pozitivă jumătate de axa Ox. Fie x și y - coordonatele punctului A. Valorile $ \ păcatului \ alpha \. \ Cos \ alpha \, \ și \, \, \, \ alpha $ pentru un acut unghi $ \ alpha $ sunt exprimate în termeni de coordonatele punctului A, și anume: $$ \ păcatul \ alpha = \ frac \\ \ cos \ alpha = \ frac \\ \, \ alpha = \ frac $$ acum definim valorile $ \ păcatului \ alpha \. \ Cos \ alpha \, \, și \, \, \, \ alpha \ text<для любого угла> \ Alpha $. (Pentru $ \, \ alpha $ unghi $ \ alpha = 90 ° $ exclus.) Avem: $$ \ păcat 90 ° = \ frac = 1 \\ \ cos 90 ° = \ frac = 0 \\ \ păcat 180 ° = \ frac = 0 \\ \ cos 180 ° = - \ frac = -1 $$ Presupunând că grinzile suprapuse formează un unghi de 0 °, avem: $$ \ păcatul 0 ° = 0 \, \,; \ Cos 0 ° = 1 \, \,; \, 0 ° = 0 $$

Pentru orice unghi a. $ 0 ° <\alpha <180°, \sin (180° - \alpha) = \sin \alpha, \cos (180° - \alpha) = -\cos \alpha$.

Dovada. Triunghiuri OAB și $ $ OA_1V_1 sunt de-a lungul ipotenuzei și un unghi ascuțit (Figura 2).

Din egalitatea de triunghiuri, rezultă că $ AB = A_1B_1 $ și anume $ Y = u_1; RH = $ OV_1, prin urmare, -h_1 = $ x $. De aceea $$ \ sin (180 ° - \ alpha) = \ frac = \ frac = \ păcat \ alpha \\ \ cos (180 ° - \ alpha) = \ frac = - \ frac = \ cos \ alpha $$ Dividing termwise egalitate $ \ sin (180 ° - \ alpha) = \ sin \ alpha $ egalitate $ \ cos (180 ° - \ alpha) = - \ cos \ alpha $, obținem $ \ (180 ° - \ alpha) = - \, \ alpha $.