Determinantul de ordinul n-lea

Determinantul de ordinul n-lea.

Luând în considerare expresia detaliată pentru determinanții

Se observă că fiecare termen include factori ca un element din fiecare rând și unul pentru fiecare coloană a determinantului și toate produsele care fac parte din determinantului cu un plus sau minus. Această caracteristică se bazează generalizare pe baza conceptelor din matricile pătrate de orice ordine. Și anume, determinantul unei matrice pătratică de ordin sau ordine determinant mai scurt numit suma algebrică a tuturor produselor din elementele de matrice, luate câte unul din fiecare rând și unul pentru fiecare coloană, iar produsul obținut prevăzut cu plus și minus semne pe o anumită regulă bine definită. este introdus Această regulă

destul de complicat mod, și nu vom insista asupra formulei sale. Important de notat că este instalat astfel încât acestea să îndeplinească esențiale următorul determinant proprietate de bază:

1. Atunci când se deplasează cele două rânduri ale semnului schimbări determinante.

Pentru determinantul 2 și a treia comenzi, această proprietate este ușor de verificat prin calcul direct. În general, se dovedește nu pe baza formulată de noi aici semna regula.

Calificări au o serie de alte caracteristici de mare care fac posibilă utilizarea cu succes determinanți într-o varietate de calcule teoretice și numerice, în ciuda determinantul extrem de greoaie: deoarece determinantul ordinii n-lea conține, așa cum este ușor de văzut, termenii, fiecare termen constând din factorii și termenii sunt prevăzute cu semne pe unele dintre regula complexe.

Vom proceda la transferul proprietăților de bază ale factorilor determinanți, nu locuință pe dovezi lor detaliată.

Primul dintre aceste proprietăți este deja prezentată mai sus.

2. Determinantul nu este modificat prin transpunerea matricei, adică. E. Prin înlocuirea rândurilor pe coloane cu păstrarea ordinii.

Dovada se bazeaza pe un studiu detaliat al regulilor de plasare a semnelor în ceea ce privește determinantul. Această caracteristică permite orice declarație cu privire la rândurile determinantului, muta coloane.

3. Determinantul este o funcție liniară a elementelor din oricare din rândul său (sau coloana). mai mult

în cazul în care expresiile sunt independente de elemente de linie.

Această proprietate rezultă din faptul că fiecare termen conține unul și numai unul din fiecare dintre factorii, în special linia.

Ecuația (5) se numește o descompunere a rândului elementului determinant, iar coeficienții se numesc adăugiri algebrice în elementele determinante.

4. cofactor al elementului este egal, pentru a într-un semn, așa-numita minor determinant, t. E. Cheie de

fracție comandă preparată din aceasta prin ștergerea rândului și coloanei. Pentru algebrică completează minor trebuie să ia semnul. Proprietăți 3 și 4 reduce ordinea de calcul determinant pentru a calcula determinant al ordinului

Dintre acestea, proprietățile de bază urmează un număr de proprietăți interesante ale factorilor determinanți. Iată câteva dintre ele.

5. determinantul cu două rânduri identice egal cu zero.

Într-adevăr, în cazul în care determinantul are două rânduri identice, factorul determinant nu se schimbă atunci când permutare, deoarece siruri de caractere sunt aceleași, dar în același timp, el, în virtutea primei proprietate, se schimbă semnul inversat. Prin urmare, este zero.

Suma produselor de elemente ale unui rând la un alt rând cofactori zero.

Într-adevăr, o astfel de sumă este rezultatul expansiunii determinantului cu două linii identice ale unuia dintre ele.

Elementele comune factor de orice linie poate fi luată ca un semn al determinantului.

Acest lucru rezultă din proprietate 3.

8. determinantul cu două rânduri proporționale este zero.

Suficient pentru a face factorul de proporționalitate, și vom obține determinantul cu două rânduri egale.

9. determinant nu se modifică în cazul în care elementele unei linii pentru a adăuga un număr proporțional cu elementele de un alt rând.

Într-adevăr, având în vedere proprietatea 3 determinant convertit: este egal cu suma determinantului determinant inițial cu două rânduri proporționale, care este egal cu zero.

Această din urmă proprietate oferă un bun mijloc de calcul factorii determinanți. Folosind această proprietate, nu puteți schimba valoarea determinantului, ao transforma într-o matrice, astfel încât un rând (sau coloana), toate elementele, cu excepția unuia, au fost egale cu zero. Apoi, extinderea determinantului dar elementele acestui rând (coloana), reducem calculul determinant al ordinului la calculul unui determinant al comenzii este, adăugări algebrice numai elementele nenule ale rândului selectat.

De exemplu, este necesar să se calculeze determinantul

Adaugarea la prima la a doua coloană înmulțit cu -1, al treilea - primul la al patrulea - primul înmulțit cu 2, obținem

Extinderea dar elementele din primul rând, obținem

În cele din urmă, adăugând la prima linie, iar elementele doua expansiune din prima coloană, obținem

Determinantul matricei A este notat cu

În concluzie, observăm o proprietate foarte importantă a mai determinanți.

Determinantul produsului a două matrice pătrate este produsul factorilor determinanților, adică. E. In stenografie

Această proprietate oferă, în special, capacitatea de a se multiplica de calificare de același ordin al regulii de multiplicare matrice.