Derivata în fizica
Revenind la aplicațiile fizice ale derivat, vom folosi o notație ușor diferită de cele adoptate în fizică.
În primul rând, schimbarea denumirii funcțiilor. De fapt, ce caracteristici ne vom diferenția? Aceste funcții sunt cantitățile fizice, dependent de timp. De exemplu, corpul de coordonate x (t) și viteza v (t) poate fi definit astfel de formule de genul:
x (t) = 1 + 2 3t 12t;
Astfel, argumentul funcției este acum momentul t, iar litera x denotă o funcție punct de coordonate de acum încolo.
În al doilea rând, schimbarea denumirii derivatului. Bar în fizică este rezervată pentru alte scopuri, și în loc să folosim un punct peste litera:
derivat de x (t) reprezintă o funcție de x (t):
Există mai mult de o singură indicație de derivat, un foarte frecvente, atât în matematică și în fizică:
derivat din x (t) este notat
(Citește ¾de X pe de te¿).
Să ne insista asupra semnificația simbolurilor (29). Un matematician înțelege în două moduri, fie ca o limită:
sau ca o fracție, care este o creștere a timpului dt numitor și numărător într-un așa-numitele diferențiale dx ale funcției x (t). Conceptul de diferential nu este dificil, dar nu-l vom discuta acum; este în așteptare pentru tine în primul an.
Fizician, cerințe nestingherită de rigoare matematică, înțelege notația (29), mai informal. Să dx este schimbarea în coordonatele de timp dt. Ia-dt interval este atât de mic încât raportul dx = dt este aproape de limita (30), cu o precizie acceptabilă.
Și apoi, să zicem, un fizician, un derivat al coordonatelor timpului este pur și simplu o fracțiune, din care numărătorul este destul de mică schimbare coordonate dx și numitorul unui interval de timp suficient de mic dt în timpul căreia a apărut modificarea coordonatelor. O astfel de înțelegere laxă a caracteristicii derivat al raționamentului în fizică. În continuare, vom lipi la acest nivel fizic de rigoare.
Să ne întoarcem la exemplul inițial (26) și să calculeze derivata poziției, și în același timp aspectul la schimbul de simboluri (28) și (29):
x (t) = 1 + 2) 3t 12t x (t) = dt d (1 + 2 3t 12t) = 12 6t:
(Diferentierea simbolul dt d înainte de a consola este încă că bara de pe partea de sus a consolei în notație anterioară.)
Vă rugăm să rețineți că calculul poziției derivatelor a fost egală cu viteza de deplasare a corpului (27). Nu este o coincidență, și trebuie să-l discutăm mai detaliat.
2.1 Coordonate derivate
În primul rând, observăm că viteza (27) poate fi pozitiv sau negativ. Și anume, viteza este pozitiv pentru t <2, обращается в нуль при t = 2 и становится отрицательной при t> 2.
Cum să înțeleagă acest lucru? Foarte simplu, nu avem de-a face cu o valoare absolută de viteză, precum și cu proiecția vectorului de viteză axa x v pe X. Prin urmare, în loc de (27), ar fi mai bine să scrie:
Dacă ați uitat ce proiecția axei, citiți secțiunea relevantă a articolului vectori ¾ ¿în fizica. Aici ne amintim doar că marca de proiecție v x reprezintă direcția de conectare viteza și direcția axei X:
v x> 0. corp se deplasează în direcția axei X; v x <0. тело движется против оси X.
(De exemplu, dacă v x = 3 m / s, aceasta înseamnă că organismul se deplasează cu o viteză de 3 m / s în direcția opusă axei X.)
Deci, în exemplul nostru (31) avem următoarea imagine a mișcării: la t <2 тело движется в положительном направлении оси X и постепенно замедляется; при t = 0 тело останавливается; при t> Corpul 2, fiind dispersat, se deplasează în direcția negativă a axei X.
Să presupunem că viteza unui corp este egală cu valoarea absolută a v. Două cazuri de direcție.
1. În cazul în care corpul se mișcă în direcția pozitivă a axei X, mica schimbare în poziția dx este pozitivă și egală cu calea parcursă de către organism în timpul dt de timp. prin urmare
2. Atunci când corpul se mișcă în direcția negativă a axei X, apoi dx <0. Путь за время dt равен dx, поэтому dx=dt = v или
Acum observăm că, în primul caz, v x = v, iar în al doilea caz, v x = v. Astfel, ambele cazuri sunt combinate într-o singură formulă:
și am ajuns la un fapt important: derivata coordonatele corpului este egală cu proiecția vitezei corpului pe acea axă.
Este ușor de observat că indicația de lucru de creștere (scădere) funcție. Și anume:
x> 0) v x> 0), corpul se deplasează în direcția axei X) de coordonate x este crescută; x <0 ) v x <0 ) тело двигается против оси X ) координата x уменьшается:
2.2 Acceleration
Viteza corpului caracterizează viteza de schimbare a coordonatelor sale. Dar viteza poate varia, de asemenea mai lent sau mai rapid. Rata de schimbare a vitezei caracteristică este o mărime fizică numită accelerație.
Să presupunem, de exemplu, viteza vehiculului este crescută la o accelerație uniformă a v = 0 2 m / s la v = 14 m / s în timp t = 3 s. accelerația vehiculului se calculează cu formula:
Astfel, se pare că accelerația este derivata vitezei.
Formula (34), cu toate acestea, nu acoperă toate situațiile care apar în mecanica. De exemplu, cu o viteză uniformă mișcare circulară a unui corp nu se schimbă în mărime și în conformitate cu (34) ne-ar trebui pentru a obține o = v = 0. Dar știți foarte bine că accelerarea corpului este, este îndreptată spre centrul cercului, și se numește centripet. Prin urmare, formula (34), are nevoie de unele modificări.
Este conectat cu modificarea că accelerația este de fapt un vector. Se pare că vectorul accelerație indică direcția de schimbare a vitezei corpului. Ce înseamnă acest lucru este, ne aflăm astăzi, cu câteva exemple simple.
Să se deplasează de-a lungul corpului axei X. Să considerăm două cazuri direcția accelerației: X și anti-axa x, respectiv.
vector 1. accelerație
un codirectional cu axa X (fig. 18). Proiecția pe accelerația axa X este pozitiv: x> 0.
Fig. 18. un x> 0
În acest caz, viteza variază în direcția pozitivă X. Anume
În cazul în care corpul se deplasează spre dreapta (v x> 0), atunci este accelerat: turația crește corpul modulului. Viteza de proiecție v x, în acest caz, este, de asemenea, a crescut.
În cazul în care organismul este mutat la stânga (v x <0), то оно тормозит: скорость тела по модулю уменьшается. Но обратите внимание, что проекция скорости v x. будучи отрицательной, при этом увеличивается.
Astfel, dacă un x> 0, proiecția vitezei v x este crescută în funcție de
corpul se mișcă în orice direcție.
2. Vectorul de accelerare
o direcție opusă axei X (fig. 19). Proiecția pe accelerația axa X este negativ: a x <0.
Fig. 19. un x <0
În acest caz, viteza este schimbat în direcția negativă a axei X. Și anume
În cazul în care corpul se deplasează spre dreapta (v x> 0), apoi încetinește: modulul de viteza corpului scade. Viteza de proiecție v x, în acest caz, este de asemenea redus.
În cazul în care organismul este mutat la stânga (v x <0), то оно разгоняется: скорость тела по модулю увеличивается. Но проекция скорости v x. будучи отрицательной, при этом уменьшается.
Astfel, dacă un x <0, то проекция скорости v x убывает, и опять-таки вне зависимости от того, в каком направлении движется тело.
Descoperit în aceste exemple de accelerare de proiecție de conectare un semn x cu creștere (descreștere) viteza v x proeminenței conduce la modificarea dorită cu formula (34):
Exemplu. O dată a reveni din nou la exemplul (26):
(Coordonatele sunt măsurate în metri, în secunde). Consistently diferențiere de două ori, obținem:
După cum se poate observa, accelerația este constantă în mărime și egală cu 6 m / s 2. accelerație trimis într-o direcție opusă axei X.
Exemplul de mai sus este un caz de mișcare uniform accelerată, în care amplitudinea și direcția accelerației sunt neschimbate (sau, pe scurt,
a = const). Uniform accelerată mișcare una dintre cele mai importante și mai frecvente forme de mișcare în mecanică.
Din acest exemplu este ușor de înțeles că în proiecția mișcare uniform accelerată a vitezei este o funcție liniară de timp, iar coordonatele unei funcții pătratice.
Exemplu. Luați în considerare un caz mai exotice:
x = 2 + 2 + 3t 4t 5t 3: