Definițiile Euclid, matematică care imi plac

Prima carte „Elemente“ deschide numeroase definiții, urmate de celebrii cinci postulate. În continuare, înainte de a începe să dovedească teorema lui Euclid, enumeră conceptele generale. În primul rând unele definiții sunt după cum urmează:

Definiție 1.1. Punctul - aceasta face parte din ceea ce nu este nimic.

Definiția 1.2. Linie - este o lungime fără lățime.

Definiția 1.3. Capetele liniilor - acest punct.

Definiția 1.4. linie directă se află în mod egal în ceea ce privește punctele de pe ea.

Postulează - un design care seamănă cu următorul:

Puteți desena o linie dreaptă care leagă un punct la oricare altul.

Concepte generale - este o axiomă, cum ar fi:

Obiecte egale cu unul și același obiect sunt egale.

Trebuie remarcat anumite momente.

1. Euclid pare determină punctul de două ori (Definiție 1 și 3) și o linie de două ori (Definiție 2 și 4). Este destul de ciudat.

2. Euclid nu utilizează definiția și niciodată nu se referă la ele în restul textului.

3. Unele concepte El nu definește. De exemplu, nu există nici o definiție a ordinii punctelor de pe linie. Prin urmare, faptul că un punct este situat între celelalte două, de asemenea, nu este definit, dar, desigur, este utilizat.

4. În a cincea carte, „elemente“ sunt considerate valori și proporționalitatea lor. Cu toate acestea, conceptul de Euclid nu definește valoarea, iar cititorul modern, să creadă că Euclid nu a putut intra valori cu rigoarea cu care el este faimos.

5. Când Euclid introduce magnitudinea și numărul, dă mai multe definiții, dar nu postulate sau concepte generale. De exemplu, s-ar putea aștepta de la postularea lui Euclid că, etc. dar el nu.

Atunci când Euclid introduce un număr de a șaptea carte, el oferă o definiție foarte asemănătoare cu definițiile de bază la începutul primelor cărți:

Unitatea - aceasta este, astfel încât fiecare dintre lucrurile care există, se numește unul.

Unii matematicieni, istorici au sugerat că nu există nici o diferență între căile de administrare a definițiilor de bază la începutul Cartea I și cartea V, nu pentru că Euclid a scris a cincea carte cu mai puțină rigoare. Mai degrabă, ei sugerează că Euclid a lăsat întotdeauna vagi concepte de bază și definiții la începutul primei cărți este adăugirile ulterioare. Care este dovada acestei?

Trebuie să ținem cont de faptul că Sekst Empirik spune despre definiții. În primul rând, rețineți că Sextus a scris în jurul anului 200 d.Hr. și până relativ recent, se credea că Heron a trăit după acest timp. Dacă acesta ar fi cazul, atunci, desigur, Sextus ar putea să nu se refere la faptul că el a scris Heron. Cu toate acestea, în ultimii ani, viața lui Heron atribuită primul secol, și se spune că Sextus mai târziu, el a scris. O altă piesă a puzzle-ului pe care trebuie să ia în considerare - este versiunea anterioară a „elemente“ de Euclid, care pot fi găsite. Atunci când Vesuvius erupție a avut loc în 79 d.Hr. Herculaneum împreună cu Pompei și Stabiae au fost distruse. Herculaneum a fost îngropat sub masă solidă vulcanică la o adâncime de 16 de metri și a rămas acolo în orașul săpăturilor, care a început în secolul al XVIII-lea. Condiții speciale de umiditate sub pământ a contribuit la conservarea lemnului, pânză, produse alimentare, și, în special, papirusul, care ne-a permis să găsim informații importante. Unul dintre fragmentele găsite din papirus conține un „început“. Este evident că a fost scris înainte de 79 AD Deoarece Philodemos (Philodemus), un elev Zenona Sidonskogo, prenes la biblioteca sa de papirusuri la scurt timp după '75 î.Hr. versiune a „început“, probabil, datează din jurul acestui timp.

Să ne întoarcem la Sextus, care scrie despre „matematica care descrie obiecte geometrice“. Interesant, cuvântul „descriere“ nu este folosit în „început“, dar este folosit în „definirea conceptului de geometrie“ Gerona. Din nou, descrierea pe care el dă, este mai aproape de cuvintele exacte ale Gerona, decât cele care pot fi găsite în Euclid. Când Sextus dă definiția unui cerc, el folosește cuvântul „definiție“, care este cuvântul lui Euclid. Sextus citează definiția exactă a unui cerc, care apare într-un fragment din Herculaneum. Acest lucru nu se aplică la determinarea cercului, dar Euclid nu folosește conceptul de cerc. Versiunile ulterioare ale „început“, care au venit la noi, să includă definiția unui cerc în definiția unui cerc.

Nimic din cele de mai sus demonstrează că definiția de bază a obiectelor geometrice au fost adăugate la „Start“ mai târziu. Doar arătat în mod convingător că intervalul de definiție a fost extinsă datorită faptului că în edițiile ulterioare ale definiției de carte de cerc a fost inclusă în ea. Ipoteza este că partea din față a Sextus, când scrie, sunt „Start“ și „Definițiile conceptelor de geometrie“, și el folosește cuvântul „descrie“, atunci când el se referă la Heron, și „determina“ când se referă la Euclid. Chiar dacă acest lucru este adevărat, încă nu dovedește că versiunea „The Beginning“, care se află în fața Sextus nu conține definițiile de bază ale obiectelor geometrice, dar este, cel puțin, sugerează că merită să discutăm. Ce părere ai despre asta?

În cele din urmă, ceva să se gândească. Am citat mai sus:

Definiția 1.4. linie directă se află în mod egal în ceea ce privește punctele de pe ea.

Ce înseamnă? Această descriere pare ciudat la Euclid, deoarece se pare lipsită de sens. Comparați acest lucru cu definiția unei linii drepte în „definirea conceptului de geometrie“:

Linia dreaptă - o linie care este aceeași în ceea ce privește toate punctele de pe ea este dreaptă și maximă întins între capetele sale.

Din nou întrebarea cititorilor: crezi că definiția inclusă în „Start“ este o denaturare a definiției Heron și s-a adăugat mai târziu, sau crezi că Euclid a dat o definiție foarte imprecisă, care a fost îmbunătățit Heron? De ce nu folosesc definiția unei linii drepte ca cea mai scurtă distanță între două puncte?