Definiția generală a măsurilor

O definiție generală a măsurilor.

Pentru a defini măsura seturi de natură mai generală decât închis și deschis, avem nevoie de un concept auxiliar. Fie E - un set situată la un interval ia în considerare toate posibile acoperirea E, adică toate deschise set V (E) care conține E. Se măsoară fiecare din seturile V (E) a fost determinată ... Un set de măsuri de toate seturile V (E) este un set de numere întregi pozitive. Acest set de numere este mărginit de mai jos (cel puțin numărul 0) și, prin urmare, are o limită inferioară, pe care denota număr se numește o măsură exterioară E.

Să măsura exterioară a unui set E, și - o măsură exterioară a ceea ce sa complementului segmentului.

Dacă raportul este îndeplinită

atunci mulțimea E este declarat a fi măsurabile și numărul - măsura sa: dacă (3) nu este îndeplinită, atunci spunem că E este incomensurabil; set măsurabil nu are măsuri.

Rețineți că este întotdeauna

Facem câteva precizări. Lungimea mai simple seturi (de exemplu, intervale și lungimi) are un număr de proprietăți remarcabile. Menționăm cele mai importante.

1. În cazul în care seturile sunt măsurabile și E și

t. e. o parte a măsurii nu depășește setul E al tuturor măsurilor de E.

2. În cazul în care seturile sunt măsurabile, setul de măsurabile și

t. e. o măsură a sumei nu depășește suma termenilor măsurilor.

3. În cazul în care seturile sunt măsurabile și disjuncte, atunci suma lor este măsurabilă și

t. e. o măsură de sumă finită sau numărabilă de mulțimi disjuncte este suma termenilor de măsuri.

Această proprietate se numește măsura aditivului său total.

4. Măsura E nu se modifică în cazul în care mutarea ca un corp rigid.

Este de dorit ca lungimea proprietăților principale păstrate pentru noțiunea mai generală de seturi de măsură. Dar, după cum poate fi destul de strict pentru a arăta acest lucru nu este posibil, în cazul în care atributul pentru a măsura un set arbitrar de puncte pe linie. Prin urmare, în definiția de mai sus, și există seturi având măsurabile sau măsură și setați fără trepte sau incomensurabil. Cu toate acestea, clasa de seturi măsurabile este atât de larg încât această împrejurare nu introduce nici un inconvenient semnificativ. Chiar și construirea de exemplu, setul este dificultăți incomensurabile cunoscute.

Iată câteva exemple de seturi măsurabile.

Exemplul 1. Măsura Cantor set P (a se vedea. § 4). La construirea setului P al intervalului [0, 1] este descărcat mai întâi cu o lungime interval adiacent atunci lungimea a două intervale adiacente 1/9, apoi patru lungime interval adiacente în general, în etapa ejectat intervale adiacente de lungime

Astfel, suma tuturor intervalelor este aruncată

Membrii acestei serii reprezintă o progresie geometrică cu primul termen și numitorul 2/3. Prin urmare, suma seriei este

Astfel, suma lungimilor tuturor adiacente Cantor stabilite intervale egale cu 1. Cu alte cuvinte, măsura suplimentară R deschide setat egal cu 1. Prin urmare, setul are în sine masura

După cum arată acest exemplu, setul poate avea un cardinality de continuul și încă mai au o măsură egală cu zero.

Exemplul 2. Se măsoară multimea punctelor raționale ale intervalului [0, 1]. În primul rând, ne arată că. In § 2, sa constatat că o pluralitate de numărabil. Aranja o multitudine de puncte în secvența

În continuare, vom defini și lungimea intervalului punctul de surround

Suma este un deschis, acoperind intervalele 8, se pot suprapune, astfel

Deci, cum poate fi ales în mod arbitrar mici, atunci

Mai mult, în conformitate cu (3)

Din moment ce este conținut în intervalul [0, 1], așa

Acest exemplu arată că setul poate fi dens într-un anumit interval și, totuși, să aibă măsură zero.

Un set de măsuri zero, în multe zone ale teoriei funcțiilor nu joacă nici un rol, iar acestea ar trebui să fie ignorate. De exemplu, funcția Riemann integrabila dacă și numai dacă este limitat, și mpozhestvo puncte de discontinuitate ale măsurii zero. Aș putea cita un număr semnificativ de astfel de exemple.