deducerile Ring - studopediya

Numerele întregi a, b congruente modulo n. dacă este împărțită la numărul n de acestea dau un reziduu (un mod n = b mod n).

Împărțind cu n valori posibile reziduuri 0,1, ..., n-1.

Notăm [k] - numerele de clasă sunt comparabile între ele, dând când împărțit la reziduu n k. De exemplu, pentru n = 4 este format din patru clase:

Astfel, un n clasa atunci când împărțit la n [0], [1], ..., [n-1]. Aceste clase sunt numite clase de reziduuri modulo n. O Zn pluralitate = n-1]> se numește un sistem complet de reziduuri. În cele ce urmează vom omite între paranteze Zn = n -1>.

Numărul clasei [a] este dată în + a. Să ne aflăm în clasa care devine suma numerelor claselor [a], [b]:

Acest număr se divide cu n produce un reziduu ((i + j) n + (a + b)) mod n = (a + b) mod n. Astfel, suma oricăror două numere ale claselor de [a], [b] aparține [(a + b) n mod]. Prin urmare, setul Zn introduce o operație plus:

Acest raport este utilizat operație algebrică stânga peste elementele a, b ÎZn. operații aritmetice pe numere a, b, n - dreapta.

Proprietăți de operare a introdus add:

· Funcționarea este comutativă și asociativă, comutativă și asociative operare plus aritmetică în partea dreaptă a + b = (a + b) n mod.

Astfel, algebra A = Ea formeaza un grup abelian în cadrul operațiunii de adăugare.

Acum ne aflăm în produsul ce clasa get a numărului de clase [a], [b]:

Acest număr se divide cu n produce un reziduu (ab) mod n.

Prin urmare, operațiunea de multiplicare pe un set de Zn este definit ca:

În această ecuație din stânga - operația algebrică peste elementele a, b ÎZn. operații aritmetice pe numere a, b, n - dreapta.

Proprietăți introduse de multiplicare:

· Înmulțirea este comutativă și asociativă, comutativă și asociativă pentru că operația de înmulțire aritmetică pe dreapta într-o * b = (ab) mod n.

Astfel, algebra A = formează un grup abelian în cadrul operațiunii de plus, este un semigrup sub multiplicare (multiplicare este asociativă) și distributivă multiplicare peste plus, deci algebra A - inel.

Aceasta se numește algebra inelul de reziduuri.

Mai mult decât atât, într-un inel de reziduu, condiția de multiplicare este comutativ, de aceea, această algebra este un inel comutativ.

Dacă n - compozit, inelul de reziduuri conține zero divizori. Într-adevăr, în cazul în care n = kl. apoi înmulțirea prin definiție k * l = (kl) mod n = 0.

Rezultatele operațiunilor de multiplicare de adunare și scădere în A = prezentate în tabl.1.2-1.4 respectiv. Zero divizori este o pereche de elemente a = 2, b = 2.