Danko_vysshaya Math în exercițiu și zadachah_ch1 1980

Gasim mediană ecuația BB t; ca 5 puncte (- 2; -8) și B 1 (-2, 0) au aceeași abscisă Vin este paralelă cu axa verticală mediană. ecuația lui

Ecuația mediană SS H.

89. Având în vârful triunghiului: A (0, 1); B (6, 5) și C (12; 1). Ecuația înălțime triunghi trasată de la punctul C.

.. P e w n e Formula (4) n este 5 găsi factor unghiular mână AB:

În virtutea stării înălțimii pantei perpendicularității trase din punctul C este egal cu -3/2. Ecuația acestei înălțime arată

n (x -12) sau bx - \ - 2y -34 - 0 ° C.

90. Laturile triunghiului sunt date: x - \ - SP - 7 = 0 (AV), Oh - y -

• -2 = 0 (BC), 6x -f-8f / - 35 = 0 (AU). Găsiți lungimea altitudinii trase din punctul B.

R e w n e. Definim coordonatele punctului Q. rezolvând sistemul de ecuații

x + Zu - 7 = 0 și Ax-y - 2 = 0, obținem x = 1, y = 2, adică în (1, 2) ... Am găsit BBI lungime înălțime ca distanța de la punctul B la linia AS:

91. Se determină distanța dintre liniile paralele Zh-

R e w n e. Problema se reduce la determinarea distanței de la un punct arbitrar de o linie la o altă linie. Presupunând, de exemplu, în prima ecuație

94. Având în vedere ecuația unui triunghi înălțimi ABC: x + # 2 = 0 9X - Zu - 4 = 0 și coordonatele vârful A (2 2). Scrieți ecuațiile laturilor triunghiului.

R e w n e este ușor de văzut că vârful A nu este pe una dintre înălțimi predeterminate :. Coordonatele nu satisfac aceste înălțimi ecuații,

Să 9l: - -4 dy = 0 este ecuația de înălțime BB x la x - \ - y 2 = 0 este ecuația înălțimii CCi. Noi formează ecuația UA, considerând-o ca o linie dreaptă care trece prin punctul A și perpendicular pe înălțimea BBI. Deoarece înălțimea factorului colț BBI este 3, lateral coeficientul unghiular AC este -1/3, m. E. K AC = -1/3. Folosind ecuatia unei linii drepte care trece printr-un punct dat și având un coeficient unghiular activ, obținem laturile AC ecuație:

2) sau x + Zu - 8 = 0.

In mod similar, obținem k cc = - 1. k AB = l și ecuația

side nenie AB are forma

Rezolvarea de ecuații împreună liniile AB și BB H. și AC directe și cci, găsim coordonatele nodurilor unui triunghi B (2/3, 2/3) și P (-1, 3), rămâne echivalează BC partea:

95. Crearea Ecuațiile de linii drepte care trec prin punctul M (5, 1) și care formează cu linia 2 - \ - y - 4 = 0, unghiul n / 4 (Figura 9).

R e w n e. Să panta a este egală cu linia k dorită. Corner coeficient predeterminat este direct-2 Deoarece unghiul dintre aceste linii este egală cu n / 4,

1-2 / e m. E. 1 = 1- 2k

Rezolvarea fiecare dintre ecuațiile rezultate, descoperim k = -1/3 și k = 3. Astfel, ecuația uneia dintre linia dorită poate fi scrisă ca

și ecuația celeilalte drepte în formă

y - 1 = 3 (x-5), adică Zh- 14 y = 0 ...

96. Găsiți linia aparținând creionului 2 - \ - Zu - \ - L-

P e w n e. Coordonatele punctului M trebuie să satisfacă ecuația liniei dorite, așa că am obține pentru a determina ecuația

2 - 1 + 3 - 1 + 5 + I (1 + 8, - 6 + 1) = 0 sau 10 + 15YA = 0, adică I = - .. 2/3.

Substituind valoarea ecuației fasciculului I, obținem ecuația liniei dorite:

= 0, sau 4-7t / -f-3 = 0.

97. Găsiți linia care trece prin punctul de intersecție al liniilor de Sx - 4 * / + 7 = 0 și bx - \ - 2y -> - 3 = 0 și paralelă cu axa y.

R e w n e. Directă aparține fasciculului

Sx-4y + 7 + H (5H- | -2 * / + 3) = 0, adică (5 + 3) x + (- ..

Deoarece paralela necesară pentru axa y, coeficientul y trebuie să fie zero: .. -4 + 2H = 0, adică, I = 2.

Rămâne să substituie valoarea găsită în ecuația fasciculului I, care produce ecuația dorită x + 1 = 0.

98. Laturile triunghiului sunt date: x - \ - 2y + b - 0 (AV), Jx - \ - y - \ - + 1 = 0 (BC) și x - \ - y + 7 = 0 (AU). Scrieți ecuația altitudinea ^ triunghi atras spre partea de curent alternativ.

R e w n e. Înălțimea elementului grindă

Panta este egală cu grinda liniei - (Wl + 1) / (2 + I); deoarece panta coeficientului AC linie este egal cu - 1 viteza unghiulară a înălțimii dorite este egal cu 1 și I pentru a determina, se obține o ecuație - (1- | -ZYA) / (2 + q) = 1 + 1. FOR. + 2- | -A. = 0 ,. E. X = -3/4. Substituind valoarea ecuației fasciculului I, obținem ecuația necesară de înălțime:

- 1) = 0, adică, 5x, 5y-17 = 0.

99. Având în vârful triunghiului ABC: A (0, 2), B (7; 3) și C (1 6).

= Te defini, de asemenea.

partea 100. Dana triunghiului: x + y - 6 = 0, Zh-

Bx = 0 și - 14 Zu- = 0. Creați ecuații înălțimile sale.

101. Scrieti ecuațiilor Bisectoarele unghiurile dintre liniile

102. Dana-vârf al triunghiului: A (0, 0), B (- 1, -3) și G (-5, -1). Scrieți ecuațiile liniilor care trec prin vârfurile triunghiului și paralel cu laturile sale.

103. Scrieți ecuațiile de linii care trec prin punctul

M (2, 7) și care formează cu linia AB, unde A (- 1, 7) și B (8; -2), unghiurile de 45 °.

104. Se determină distanța dintre punctul M (2, 1), la linia de pe axele de coordonate cutoff lungimi a = 8, 6 = 6.

105. Triunghiul cu vârfuri A (3/2, 1), B (\; 5/3), C (3, 3), pentru a găsi înălțimea lungimii trase din punctul C.

106. La ce valoare t drept 7x - 2y - 5 = 0, x - \ - 7U - 8 = 0 și mx - \ - To - 8 = 0 intersecteaza la un moment dat?

107. Având în vedere laturile de mijloc ale triunghiului: A x (-1, -1), V 1 (\ 9) și C (9: 1). Scrieți ecuațiilor midperpendiculars pe laturile triunghiului.

108. Găsiți unghiul ascuțit format de o linie dreaptă cu axa ordonată,

care trece prin punctul A (2; [/ z) și B (3; 2] / 3).

109. Punctele A (1, 2) și C (3, 6) sunt noduri opuse ale unui pătrat. Determinați coordonatele celorlalte două vârfuri ale pătrat.

110. Pe axa x pentru a găsi punctul în care distanța de la directă

8x mea - \ - \ 5Y - \ - \ 0 - 0 este egal cu 1.

* 111. Având în vârful triunghiului: A (1, 1), B (4, 5) și C (13, 4). Creați ecuație median trase din punctul B și altitudinea trase din zona vertex S. Se calculează triunghiului.

112. linii Cauta aparținând 2x- grindă

113. Găsiți linia care trece prin punctul de intersecție al liniilor x + 6y + 5 = 0, Sx - 2i / 4-1 = 0 și prin punctul M (-4/5; 1).

114. Găsiți o linie care trece prin intersecția liniilor x - \ - 2y - \ - 3 = 0, 2 # + 3z / + 4 = 0 și paralelă cu linia BX +

115. Găsiți o linie care trece prin punctul de intersecție al liniilor de Sx - 1 y = 0, x - \ - Zu - \ - \ - 0 și paralele cu axa x.

116. Găsiți o linie care trece prin punctul de intersecție al liniilor de BX - \ - Zu + 10 = 0, x - \ - y = 0 și 15 prin origine.

117. Găsiți o linie care trece prin punctul de intersecție al liniilor l; 2r + / 0 + 1 = 2 * r + / + 2 = 0 și formează un unghi de 135 ° cu axa orizontală.

118. Scrieți ecuațiile de linii drepte care trec prin punctul M (a, b) și care formează cu linia x + y / + c = un unghi de 45 °.

• Partea 119. Dana triunghiului: x - y - 0 (AB) x - \ - y - 2 = 0 (BC) y = 0 (AU). Fii ecuația medianei prin vârf B, și înălțimea prin partea de sus a A.

120. Arată că un triunghi cu laturile x - \ - SLM + 1 = 0,

d ^ + # Z + 1 = 0 și x - 10 y = 0 isoscel. Găsiți unghiul la vârful său.

121. Dana vârfuri succesive ale unui paralelogram: A (0, .0), B (1, 3), C (7, 1). Găsiți unghiul dintre diagonalele sale, și arată că paralelogramului este un dreptunghi.

Părțile laterale ale triunghiului 122. Având în vedere: x - r / 2 + 0 =

123. Arată că triunghiul cu vârfurile A (1: 1), B (2;

C (3; 1) este echilateral și calcula aria sa.

124. Arată că triunghiul ale cărui laturi sunt definite prin ecuații cu coeficienți întregi nu pot fi echilateral.

125. Dana vertex al triunghiului (3, 9) și ecuația mediană: y 6 = 0 și Sx - 4g / + 9 = 0. Găsiți coordonatele celorlalte două vârfuri.

126. Crearea ecuație ipotenuza unui triunghi dreptunghic care trece prin punctul M (2, 3), în cazul în care picioarele triunghiului sunt situate pe axele de coordonate, iar aria triunghiului este egal cu

127. Scrieți ecuațiile de cele trei laturi ale pătrat, în cazul în care se știe că a patra latură este un 4L segment de linie; Sr + / -12 = 0,

capetele cărora se află pe axele de coordonate.

§ 3. Curbele de ordinul doi

1. Cercul. Circumferința - un set de puncte echidistant față de un punct dat (centru). Dacă r - raza cercului, iar punctul C (a, b) - din centrul său, atunci ecuația cercului este dată de

În special, în cazul în care centrul cercului coincide cu originea, ultima ecuație devine

În cazul în care partea dreaptă a ecuației (1) pentru a deschide parantezele, obținem o ecuație

unde t = - 2a, m = ^ 2b, n +

În cazul general, ecuația (2) definește un cerc în cazul în care / 2 -J m 2 - 4n> 0. Dacă / 2 -4ya 2 = 0 -f-m, ecuația de mai sus definește un punct (- 1/2; -m / 2) și dacă / 2 + r 2 - 4 L <0. то оно не имеет геометрического смысла. В этом случае

Se spune că ecuația definește un cerc imaginar.

Este util să ne amintim că ecuația cercului include membri de rang înalt ai x 2 și 2 cu coeficienți egali, și nu are un membru cu o bucată de x de y.

Poziția relativă a punctului M

128. Găsiți coordonatele centrului și raza cercului 2 + 2y 2 z - 0

. R e w n e despartitor ecuația 2 și ecuația gruparea termeni, obținem x 2 - Ax

pătrate, adăugând la prima binomială 4 și la o a doua (5/4) 2 (atât pe partea dreapta adaugă suma acestor numere):

Astfel, coordonatele centrului cercului a = 2, b = - 5/4, iar raza r cercului = 11/4,.

129. Crearea ecuația circumscris unui triunghi ale cărui laturi sunt definite de ecuațiile 9L; - 2y - 41 = 0,

. R e w n e Noi găsim coordonatele nodurilor triunghi, decizând împreună trei ecuații:

(9X-2y - 41 = 0, f 9L: - 2u- 41 = 0, 1 = 0, J 9L: - 2u- 41 = 0, (7x

Ca rezultat, obținem L (3; -7), B (5, 2), C (-1; 0).

Să presupunem că ecuația dorită a cercului este (x-a) 2 - \ - (y - 6) 2 = r 2 Pentru a găsi o, g 6 și scrie cele trei ecuații prin substituirea în ecuația în locul poziției curente dorite coordonatele punctelor A, B și C. :

6) 2 = r 2; N 1 - a) 2 + b 2 = r 2 r 2. Fără a ajunge la sistemul de ecuații:

g (3_s) 2 + (_ 7 - 6) 2 = (5 - a) 2 + (2 - b) 2. f 4a -29 + 186 = \ (3-a) 2 + (-7 -6) 2 = (1-a) 6 2 2 8 a sau I-146 = 57

Prin urmare, a = 3,1, „b = - 2.3. Valoarea lui r 2 se găsește din ecuația (1-z-a) 2 +

t. e. A 2 = 22,1, Astfel, ecuația dorită scrisă sub forma

130. Creați ecuația unui cerc care trece prin puncte

A (5, 0) și B (\ 4), în cazul în care centrul său se află pe linia x - \ - y - 3 = 0.

. R e w n e găsim coordonatele punctele mediane ale corzilor AB M; avem

Xg | = (5 + 1) / 2 = 3, m = # (4-1-0) / 2 = 2, adică, M (3, 2) ... Centrul cercului se află pe perpendiculara pe segmentul [AB]. Ecuația dreptei (AB) are forma (

Deoarece panta acestei linii este - 1. * ciente coeffi- unghiular perpendicular pe acestea este 1, iar ecuația perpendicularei

y 2 = 1 - (x-3), adică x-y-1 = 0 ...

Evident, centrul cercului C este punctul de intersecție a liniei drepte (AB) cu numitul perpendiculară, adică coordonatele centrului sunt determinate prin rezolvarea sistemului de ecuații x - .. \ - y - 0 = 5, x - y -1 = 0. Prin urmare, x = 2, y = \, t. E,

C (2, 1). Raza cercului este egală cu lungimea intervalului [CA], adică r =. (5 - 2) 2 + (1-D) = V 2 Astfel, ecuația dorită a formei

131. Creați ecuație coardă circumferențială% 2 + * / 2 = 49, împărțind punctul A (1, 2), în jumătate.

. R e w n e forma diametrul ecuația cercului care trece prin punctul A (1, 2). Această ecuație are forma y = 2x. Coarda dorită este perpendiculară

diametru și trece printr-un punct A, t. e. ecuația lui

Y 2 = - y (x 1), sau x + 2y - 5 = 0.

132. Găsiți ecuația unui cerc, simetric cu cercul 2 2 4 4 în raport cu linia x - r / - 3 = 0.

R e w n e. Fie ecuația cerc dat la forma canonică

y 2 = - x + \, iar x + y - 3 = 0.

Rezolvarea ecuației x-y - 3 = 0 și x - \ - y - 3 = 0, obținem x = 3, y / = 0, adică proiecția punctului (1, 2), într-un punct P dat linie (.. 3, 0). Coordonatele punctului simetrice din formulele punctului median de coordonate: 3 = (l-f-x l) / 2 1. O = (2-j-y l) / 2; deci, * i = 5, * / i = - 2. Prin urmare, punctul x C (5; -2) cerc centru simetric, iar ecuația cercului este dată de

133. Găsiți setul de punctele de centru chords circumferința x 2 - \ - y r = 4 (y - \ - 1) tras prin origine.

R e w n e. Set Ecuația de coardele are forma y = kx. Ne exprimăm coordonatele punctului de intersecție al corzii prin cercul k, pentru care rezolva sistemul de ecuații y - kx 2 și x - \ - y 2 - \ -4 y = 0. Obținem o ecuație pătratică x 2

- \ kx - 4 = 0. Aici, Xi + ^ 2 = 4fe / (l - \ - k 2). Dar jumătate din suma abscisa orizontale dă la mijlocul coardă, adică x = 2k / (l - \ - k 2) .., și ordonata la mijlocul corzii y = 2k 2 /

Eliminarea din aceste ecuații k (care este suficient pentru un raport de x = 2 / (l + k 2) pune k = y / x), obținem x 2 + y 2 -2u = 0. Astfel, setul dorit este, de asemenea, un cerc.

134. Pentru a determina coordonatele centrelor și razele cercurilor:

2. elipsă. Elipsa este setul de puncte, suma a cărei distanțe cele două puncte de date numite focarele este constantă (este notat cu 2a), în care această constantă este mai mare decât distanța dintre focii.

Dacă axele sunt poziționate în raport cu o elipsă așa cum se arată în Fig. 10, iar focarele elipsei sunt situate pe axa x la distanțe egale de punctele nachapa coordonatele F x (a, 0) și F 2 (- c; 0), apoi obține un simplu (canonic) Ecuația de elipsă:

Aici o -Large, b - axa mică a elipsei, și a, b și c (c este jumătate din distanța dintre focii) sunt legate printr-o 2 = b 2 - \ - s 2.

Forma unei elipse (o masura a compresiei acesteia) se caracterizează prin excentricitate e sa = c / a (din <а, то е <1).

Distanțele unui punct M al focii elipsă numit radiusamivektorami focal acest punct. Ele reprezintă, de obicei, g \ si 2 g (prin definiția elipsei pentru orice punct G1 - \ - g 2 - 2 a).

În cazul special în care a = b (a = 0, e = 0, Focare sunt unite într-un singur punct - centru), elipsa devine un cerc (cu ecuația x 2 -F-

Poziția relativă a punctului M (Xi, y x) și

147. Găsiți excentricitatea elipsei, în cazul în care lungimea focala este vizibil din partea de sus a de sus la un unghi a.

148. Pe linia # 5 = 0 pentru a găsi punctul la aceeași distanță de vârful superior stâng și o focalizare a elipsei x + * 2/20 / 2/4 = 1.

149. Folosind definiția unei elipse, face ecuația lui,

dacă știm că punctul F x (0, 0) și F 2 (1, 1), sunt focarele elipsei, iar lungimea axei principale este egal cu 2.

150. Creați setul de ecuații de puncte ale căror distanțe punctul A (0, 1) este mai mică decât dublul distanței până la linia y dreaptă - 4 = 0.

151. Capetele segmentului AB de lungime constantă și diapozitive pe laturile unui unghi drept. Găsiți ecuația curbei descrise de exacte

Coy M împărțirea segmentului în raport de 1: 2.

3. Hiperbola. Un hiperbolă este setul de puncte, valoarea absolută a diferenței dintre a căror distanțe față de cele două puncte de date numite focarele este constantă (notat cu 2c său), în care această constantă este mai mică decât distanța dintre focii. Dacă ați pus focarele hiperbola în punctele de acces Fi (cu, 0) și F 2 (- c; 0), obținem

ecuația canonică a hiperbola

cumparand partea de sus a dreptunghiului sunt asymptotes de hiperbola. Fig. 11 din poziția relativă a hiperbola și asymptotes sale. Raportul dintre e = c / a >> 1, se numește excentricitatea hiperbola.

Vectorii raza focale de ramura dreapta a hiperbolă: x r = e - un (vector dreapta poziție focal) g 2 = e - \ - a (vectorul raza focală din stânga).

Vectorii Focale raza de ramura stângă a unui hiperbolă: r L = - ex - \ - a (vector raza focala dreapta), r 2 = - ex-a (vectorul rază focală din stânga).

Dacă a = b, atunci ecuația ia forma hiperbola

O astfel de hiperbolă se numește echilateral. asimptotă sa formeze un unghi drept. În cazul în care axele de coordonate adopta asymptotes hiperbola dreptunghiular, ecuația lui devine xy - m (m = ± a 2/2; atunci când m> 0 hiperbolă este situat în cadranele I și III, cu m <0 — во II и IV четвертях). Так как уравнение ху — т можно переписать в виде у = т/х, то равнобочная гипербола является графиком обратной пропорциональной зависимости между величинами х и у.

R ^ - - ^ r = - 1 și b 2 a 2 /