Cum să formuleze și să dovedească teorema cosinusului

Formularea și notația matematică

Astfel, teorema cosinus este formulată după cum urmează:

partea Pătratul orice triunghi este egala cu suma pătratelor celorlalte două părți minus de două ori produsul cosinusul unghiului de la laturile situate între ele.

Desigur, acesta este lung, dar dacă înțelegi esența ei, este pur și simplu să-și amintească. Se poate imagina chiar si un desen triunghi. Vizual este întotdeauna mai ușor de reținut.

Formula acestei teoreme ar fi:

și 2 = 2 + 2 - 2 * in * a * cos A.

Un pic cam lung, dar este logic. Dacă un aspect mai aproape, putem vedea că scrisorile sunt repetate, prin urmare, este ușor de reținut.

O dovadă comună a teoremei

Așa cum este valabil pentru toate triunghiurile, puteți opta pentru oricare dintre tipurile de raționament. Să-ți fie o figură cu toate colțurile ascuțite. Să considerăm un triunghi unghi ascuțit-al cărui unghi C este mai mare decât unghiul la vârf V. Datorită acestui unghi mare ar trebui să fie coborâtă perpendicular pe latura opusă. Înălțimea Uzat va împărți triunghiul în două dreapta. Această nevoie de dovezi.

Partidul va fi împărțit în două segmente: x, y. Ei trebuie să fie exprimate în termeni de cantități cunoscute. Partea care va fi în triunghiul cu ipotenuzei egală cu, exprimată în termeni de înregistrare:

O alta va fi egală cu această diferență:

Acum trebuie să scrie teorema lui Pitagora pentru cele două rezultat în construcția de triunghiuri unghi drept, având înălțimea cantității necunoscute. Aceste formule va arata astfel:

n 2 = a 2 - (c * cos A) 2,

n 2 = a 2 - (c - a * cos A) 2.

În aceste ecuații sunt aceeași expresie pe stânga. Deci, laturile lor din dreapta sunt egale prea. E doar o arsură. Acum aveți nevoie pentru a deschide paranteze:

în 2 - 2 * (cos A) 2 = a 2 - c 2 + 2 * A * cos a - 2 * (cos A) 2.

Dacă sunteți pentru a efectua migrarea și reducerea termeni similari, obținem formula inițială, care este scris după declarația, aceasta este o teorema de cosinus. Dovada este completă.

Dovada vectorilor

Este mult mai scurt decât cel precedent. Și dacă știi proprietățile vectorilor, teorema cosinus pentru triunghi dovedit ușor.

În cazul în care părțile la a, b, c reprezintă respectiv Vector VS, AS și AB, atunci avem egalitatea:

Acum aveți nevoie pentru a efectua o acțiune. Prima dintre ele - este cuadratura ambele părți ale ecuației:

BC 2 = AC 2 + AB doi-două AC * AB.

Apoi, trebuie să rescrie ecuația în formă scalară, având în vedere că produsul a doi vectori este cosinusul unghiului dintre ele în valorile lor scalare:

BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC AB * A * cos

Rămâne doar să se întoarcă la notația vechi, și din nou rândul său, teorema cosinus:

și 2 = 2 + 2 - 2 * in * a * cos A.

Formulele pentru celelalte părți, precum și toate unghiurile

Pentru a găsi direcția teoremei cosinus să ia rădăcina pătrată. Formula pentru pătratele celelalte laturi va arata astfel:

2 = a 2 + 2 - 2 * A * B * cos C.

Pentru a scrie o expresie pentru latura pătrat. Trebuie să înlocuiți egalitatea anterioară cu un director. și vice-versa, și a pus sub unghiul cosinus B.

poate fi exprimată prin cosinusul unghiului A din teorema principală cu formula:

cos A = (a + 2 c 2 - a 2) / (2 * s).

In mod similar formule sunt derivate pentru alte unghiuri. Este o bună practică, astfel încât să puteți încerca să scrie propriile lor.

Desigur, amintiți-vă că aceste formule nu sunt necesare. Este suficient pentru a înțelege teoremele și capacitatea de a aduce aceste expresii ale stăpânului ei.

Formula inițială Teorema ne permite să găsim direcția dacă unghiul dintre cele două nu este cunoscută. De exemplu, aveți nevoie pentru a găsi. când li se atribuie valori: A, C, A sau necunoscută cu. dar există o valoare a lui A, B, A.

În această situație, trebuie să mutați toți termenii formulei la stânga. Ia această egalitate:

2 - 2 * a * c * cos A + 2 - a 2 = 0.

Rescrie-l într-o formă ușor diferită:

2 - (2 * în * cos A) + c * (a 2 - a 2) = 0.

Puteti vedea cu ușurință ecuația de gradul doi. Se cunoaște cantitatea - cu. și toate celelalte date. Prin urmare, este suficient pentru a rezolva cu ajutorul discriminant. Deci, acesta va fi găsit o parte necunoscută.

În mod similar, formula pentru a doua parte:

2 - (2 * s * cos A) * a + (c 2 - a 2) = 0.

Printre alte expresii unei astfel de formule prea ușor pentru a obține pe cont propriu.

Cum de a afla fără a calcula cosinusul opiniile unghi?

Dacă te uiți atent la formula cosinusul unghiului derivat de mai sus, putem vedea următoarele:

• numitorul - este întotdeauna un număr pozitiv, deoarece este produsul dintre părți care nu poate fi negativă;
• Valoarea unghiului depinde de semnul numărătorul.

• acută în situațiile în care numărătorul este mai mare decât zero;
• Blunt, în cazul în care expresia este negativă;
• Directă atunci când este egal cu zero.

Apropo, această din urmă situație atrage teorema cosinus la teorema lui Pitagora. Deoarece pentru un unghi de 90º cosinusul este zero, iar ultimul termen dispare.

Prima sarcină

Obtuz triunghi unghi este egal cu unele 120º arbitrare. Pe părțile laterale, că este limitată, este cunoscut faptul că unul dintre ele mai mari decât celălalt de 8 cm. La o lungime de partea a treia este de 28 cm. Este necesară pentru a găsi perimetrul triunghiului.

Mai întâi trebuie să identifice o parte a literei „x“. Într-un astfel de caz, celălalt va fi egal cu (x + 8). Deoarece sunt expresii ale tuturor celor trei laturi, puteți utiliza formula dată de teorema cosinus:

28 februarie = (x + 8) x 2 + 2 - 2 * (x + 8) * x * cos 120º.

Tabelele pentru cosinus pentru a găsi valoarea corespunzătoare la 120 de grade. Acest lucru va fi numărul de 0,5, cu semnul minus. Acum, se bazează pentru a deschide paranteze, respectând toate regulile, și pentru a aduce acești termeni:

784 = 16x + x 2 + x 64 + 2 - 2 * (0,5) * (x + 8);

= 784 2 2 + 64 + 16x + x 2 + 8x;

3 + 24x 2-720 = 0.

Această ecuație pătratică este rezolvată prin găsirea unui discriminantă, care va fi egală cu:

A = 24 24 * 3 * (- 720) = 9216.

Deoarece valoarea sa este mai mare decât zero, ecuația are două răspunsuri-rădăcină.

Ultima rădăcină nu poate fi raspunsul la problema, deoarece partidul trebuie să fie neapărat pozitivă.

Deci, cele două părți sunt cunoscute. Este ușor de a găsi o a treia: 12 + 8 = 20 (cm). Acum putem răspunde la întrebarea problemei. Perimetrul triunghiului este definit ca suma tuturor părților:

+ 12 + 24 20 = 60 (cm).

Răspuns. perimetru este de 60 de centimetri.

În triunghiul sunt cunoscute: a. egală cu 2 cm; a. care este de 10 cm; Deoarece magnitudinea unghiului 120º. Doriți să găsiți în lateral.

Mai întâi trebuie să profite de cosinusul și deduce din aceasta formula ecuația de gradul doi, valoare care nu este cunoscută la:

2 = a 2 + 2 - 2 * A * B * cos C

2 - (2 * a * cos C) * a + (a 2 - s 2) = 0.

Este necesar să se înlocuiască toate valorile cunoscute în condiție:

2 - (2 * 10 * cos 120º) * B + (2 de 10 - 2 2) = 0.

Acum, avem nevoie pentru a calcula ceea ce este posibil pentru a simplifica expresia:

2 - (20 * (-1/2)) * B + (100 - 4) = 0

2 + 10 * a - 96 = 0.

Aceasta este o ecuație pătratică standard pentru a fi rezolvată prin găsirea discriminante:

D = (10) 2 - 4 * 1 * (-96) = 484.

Conform formulelor trebuie să facă calcule pentru partea necunoscută:

e2 = (- 10-22) / 2 = - 16 - nu îndeplinește această rădăcină de rezolvare a problemei, deoarece partidul nu poate fi negativă.

A: latură necunoscută este de 6 cm.

A treia sarcină

Într-un anumit triunghi laturi: a, b, c. sunt respectiv egale cu 6 cm, 10 cm și 8 cm. Necesită calcula unghiul A.

Din nou, trebuie să utilizați teorema lui cosinus. Se folosește înregistrarea care este cosinusul unghiului A, deoarece este necesar să se calculeze. Asta este scris formula potrivită pentru cosinusul unghiului de necunoscut:

cos A = (a + 2 c 2 - a 2) / (2 * s).

Rămâne să înlocuiască valoarea părților și pentru a efectua toate calculele:

cos A = (2 + 10 8 2 - 2 6) / (2 * 8 * 10).

După ridicarea tuturor termenilor din piață și înmulțirea numerelor de la numitor:

A = cos (100 + 64 - 36) / (160).

După adăugarea și diviziunea se obține:

cos A = 128/160 = 0,8.

Acum, trebuie să utilizați un tabel Bradis pentru a afla ce este unghiul A. Cea mai apropiată valoare a unghiului pentru acest cosinus este 36º54' .

A: Valoarea unghiului A este 36º54' .