Cum să dovedească faptul că pi nu depinde de diametrul circumferinței

Aici este o dovadă a spus un matematician. Desenați două cercuri concentrice de rază arbitrară. Raza cercului mare este notat cu R, iar raza cercului mic notat cu r. Hai, R o n ori mai mare decât r (R = nr). Trebuie să arătăm că raportul dintre circumferința pacientului în ceea ce privește R este egală cu lungimea circumferinței r mic. Dacă vom dovedi, problema este rezolvată, pentru că avem un n arbitrar. Dovada. Atragem din centrul O al celor două grinzi cu un unghi mic între ele. Aceste raze cruce fiecare cerc în două puncte. Conectați aceste puncte de segmente de linie dreaptă. Obținem două triunghiuri isoscele similare. Ele sunt pentru baza egală cu raportul dintre razele, adică este egal cu n. Am împărți toată gama de aceste sectoare. Aproximativ lungimea circumferențiară poate fi definită ca suma acestor segmente - baze. Este evident că suma „motiv mare“ va fi, de asemenea, de n ori mai mare decât suma „baze mici“. Vom reduce în mod constant unghiul și de a crește în mod corespunzător numărul de segmente linie de bază. Raportul dintre cantitățile încă egal cu n. În limita unghiurilor infinitezimale se obține suma segmentelor infinit de mici (de exemplu, integral). Dar suma infinit de mare de segmente infinit de mici și este lungimea circumferinței. Prin urmare, lungimea cercului mare în n ori lungimea cercului mic (și n ori raportul dintre raze). Deoarece n este arbitrară, acest raport este independent de raza. Acest lucru dovedește teorema. Rămâne doar pentru a indica raportul dintre litera P, după prima literă a numelui matematicianului grec antic Pitagora (Πυθαγόρας). Dar a făcut în mod tradițional de a folosi litera minusculă „pi“.

Vladimir-2012 [56.7K]

Ar trebui să rețineți faptul că numărul de „pi“ - prima literă a cuvântului grecesc pentru „înrudite“ (περιφέρεια) - cerc. Această denumire a inventat matematicianul englez Uilyam Dzhons în 1706. - mai mult de un an în urmă

Totul depinde de spațiu metric în care ne desfășurăm activitatea. Pentru spațiu euclidian este adevărat - prin definiție. pi este raportul dintre circumferința diametrului. Aceasta este, diametrul poate fi orice. De asemenea, din moment ce PI - este constantă, prin urmare, este independentă de diametru.

În geometria pi Lobachevskian nu este constantă și depinde de diametrul. Cu cât diametrul, mai puțin pi (raportul dintre lungimea circumferențial la diametru). Dar, în limita, atunci când diametrul tinde la zero ca timp și să obțină numărul necesar de pi la planul 3.14.

Dacă presupunem (în spațiu euclidian), care pi - nu este constantă, este ușor de a dovedi afirmația că nu este.

Dovada. Să presupunem că există două cercuri, raza de 1 - r1, al doilea R2 și circumferința 1 - C1, 2 - C2. Să presupunem că

C1 / (2R1) - C2 / (2R2) = ε> 0. (1)

Inscriu cercul de poligoane regulate. Să-i fie perimetrele P1 și P2. Pentru poligoane din cauza afirmația adevărata asemănare:

P1 / (2R1) = P2 / (2R2). Evident, C1 - P1 = δ1> 0 și C2 - P2 = δ2> 0. transformare (1):

C1 / (2R1) - C2 / (2R2) = (P1 + δ1) / (2R1) - (P2 + δ2) / (2R2) = δ1 / (2R1) - δ2 / (2R2) = ε. (2)

Dar, ca pentru orice ε> 0 este întotdeauna posibil de a alege un număr de laturi ale poligoanelor - n, care va fi adevărat δ1 <2r1ε, следовательно:

δ1 / (2R1) - δ2 / (2R2) <ε - δ2/(2r2) <ε, что приводит к противоречию с (2). Утверждение доказано.