Convergența seriei Fourier

Funcția \ (f \ left (x \ dreapta), \) este definit în intervalul \ (\ stânga [\ dreapta], \) este netedă pe porțiuni. dacă funcția în sine și derivatul său este într-un continuu pe porțiuni interval dat.

Sumele parțiale ale seriei Fourier

Noi introducem conceptul unei sume parțiale a seriei Fourier \ (\ stânga (x \ dreapta) \) funcția \ (f \ stânga (x \ dreapta), \) definite pe intervalul \ (\ stânga [\ dreapta]. \) Este determinat de expresia \ [ \ stânga (x \ dreapta) = \ frac >> + \ sum \ limits_ ^ N \ cos nx + \ păcatul nx> \ dreapta)>. \] Forma complexă suma parțială a \ (\ stânga (x \ dreapta) \) funcţia \ (f \ stânga (x \ dreapta), \) într-un interval \ predeterminat (\ stânga [\ dreapta] \) este exprimat prin \ [\ stânga (x \ dreapta) = \ sum \ limits_ ^ N >>> = ^ \ pi> \ sum \ limits_ ^ N \ dreapta) >>>> \ dreapta) f \ stânga (y \ dreapta) dy>.> \]

Funcția \ [\ stânga (x \ dreapta) = \ sum \ limits_ ^ N >> = \ frac> \ dreapta) x >>>> \] este numit kernel Dirichlet. Figura \ (2 \) este o vedere atunci când această funcție \ (n = 10 \)

Suma parțială a seriei Fourier este exprimată în termeni de nucleu Dirichlet, după cum urmează: \ [\ stânga (x \ dreapta) = \ frac> \ int \ limits_<- \pi>^ \ Pi \ stânga (\ dreapta) f \ stânga (y \ dreapta) dy >> => \ int \ limits_<- \pi>. ^ \ Pi \ la stânga (y \ dreapta) f \ stânga (\ dreapta) DY >> \] În această secțiune ne vom uita la trei tipuri de convergenta seriilor Fourier: convergența punctului, convergența uniformă și convergența în spațiu \ (. \)

Convergența seriei Fourier la un punct

Să \ (f \ stânga (x \ dreapta) \) este funcția netedă în porțiuni intervalul \ (\ stânga [\ dreapta]. \) Atunci pentru orice \ (\ în \ stânga [ <- \pi ,\pi> \ Dreapta] \) satisface condiția \ [\ lim \ limits_ \ stânga (> \ dreapta) = \ begin f \ left (> \ dreapta), \ Text \, f \ stânga (x \ dreapta) \, \ textul \, \ stânga [ <- \pi ,\pi> \ Dreapta] \\ \ frac - 0> \ dreapta) + f \ stânga (+ 0> \ dreapta) >>, \ Text \, f \ stânga (x \ dreapta) \, \ textul \,> \ end \] unde \ (- 0> \ dreapta)> \) și \ (+ 0> \ dreapta)> \) sunt , respectiv, limitele din partea stângă și dreaptă la punctul \ (. \)

convergență uniformă a seriei Fourier

Ei spun că secvența de sume parțiale ale serii Fourier \ (\ left \<\left( x \right)> \ Dreapta \> \) converg în mod uniform la funcția \ (f \ stânga (x \ dreapta), \), în cazul în care viteza de convergență a sumelor parțiale \ (\ din stânga (x \ dreapta)> \) nu depinde de \ (x. \) ( figura \ (3 \)). Noi spunem că dreapta]> \ a părăsit seria Fourier a \ (f \ stânga (x \ dreapta) \) converge uniform la această funcție, în cazul în care \ [\ lim \ limits_ \ stânga [\ | \ Stânga (x \ dreapta)> \ dreapta |> \ dreapta] = 0. \] Teorema. Seria Fourier \ (2 \ pi \) - o funcție continuă și periodică netedă pe porțiuni converge uniform.