convergență condiționată, întâietatea

Luați în considerare o serie de numere cu un număr infinit număr pozitiv și negativ infinit de membri. O astfel de serie se numește o serie alternantă.

Scriem o serie alternantă arbitrar
$ A_ + a_ + a_ + ... + a_ + ... = \ sum \ limits_ ^ a_ $ $ (1) $
în cazul în care numerele de $ a_, a_, a_, ..., a_, ... $ sunt atât pozitive, cât și negative, iar acestea sunt aranjate într-un număr arbitrar. Doar uita-te la grupul format din valorile absolute ale termenilor (1):
$ | A_ | + | a_ | + | a_ | + ... + | a_ | + ... = \ sum \ limits_ ^ | a_ | $ $ (2) $.
Pentru seria alternativ avem următoarea teoremă:

În cazul în care numărul de $ (2) $ converge, convergența seriei $ (1) $.

evidență

Să presupunem că numărul de $ (2) converge $. Vom nota cu suma parțială $ S_ $ de $ (1) $ și $ \ $ sigma_ sumă parțială de $ (2) $. Apoi: $ S_ = a_ + a_ + a_ + ... + a_ $;

$ \ Sigma_ = | a_ | + | a_ | + | a_ | + ... + | a_ | $. Deoarece numărul de $ (2) $ converge, secvența sumelor parțiale $> $ limita este de $ \ lim \ limits_ \ sigma _ = \ sigma $, în care pentru orice $ n $ inegalitate

$ \ Sigma_ \ leq \ sigma $ $ (3) $
Deoarece termenii $ (2) $ sunt non-negativ.
Vom nota cu $ S<>„_ $ Suma de termeni pozitivi, și prin $ S<>»_ $ În valoare de module conținute termeni negativi în valoare de $ S_ $.
atunci
$ S_ = S<>„_-S<>»_ $ $ (4) $
$ \ Sigma_ = S<>„_ + S<>»_ $ $ (5) $.
Se poate observa că secvența de $ '_> $ si $' _> $ nu scad, iar egalitatea $ (5) $ și inegalitățile $ (3) $, rezultă că acestea sunt limitate: $ S<>„_ \ Leq \ sigma_ \ leq \ sigma $ și $ S<>»_ \ Leq \ sigma_ \ leq \ sigma $. Prin urmare, există $ \ lim \ limits_S<>„_ = S<>„$ Și $ \ lim \ limits_S<>_ »= S<>„$. Dar, în acest caz, egalitatea $ (4) $, secvența de sume parțiale de $ (1) $ are o limită
$ \ Lim \ limits_S _ = \ lim \ limits_ (S<>„_-S<>»_) = \ Lim \ limits_S<>„_- \ lim \ limits_S<>»_ = S<>„-S<>„$.

Acest lucru înseamnă că numărul de $ (1) $ converge. $ \ $ Blacksquare

Un număr de $ 1 \ frac> - \ frac> + \ frac> + \ frac> - \ frac> - \ frac> + ... $ conform cu Teorema 1 este dovedit convergenta seriei, format din valorile absolute ale termenilor seriei: .. $ 1 + \ Frac> + \ Frac> + \ Frac> + \ Frac> + \ Frac> + \ Frac> + ... $
Mai jos este un grafic al comportamentului primii douăzeci, formată din valorile absolute, termenii de serie

Considerat un semn al convergenței unei serii alternante este suficientă, dar nu este necesar, t. Pentru a. Sunt rânduri alternante care converg și seria formată din valorile absolute ale membrilor lor divergente. De exemplu, o serie de $ \ sum \ limite _ ^ - ^ 1 \ frac $ converge în funcție de motive Leibniz și un număr de $ \ sum \ limite _ ^ \ Frac $, constând din valorile absolute ale termenilor săi, diverge.

Prin urmare, toate seriile convergente pot fi împărțite în converg absolută și condiționată.

Serii cu termeni reali sau complexe $ \ sum \ limits_ ^ a_ $ este numit absolut convergenta daca seria $ \ suma \ limite _ ^ \ left | a_ \ dreapta | $.

O serie de $ \ sum \ limits_ ^ a_ $ este numit convergenta în cazul în care converge și seria $ \ suma \ limite _ ^ \ left | a_ \ dreapta | $ dispers.

Pentru condiționat serii convergente sunt ...

  • serii convergente pentru care seria compusă din valorile absolute ale membrilor lor sunt divergente.
  • serii convergente pentru care seria compusă din valorile absolute ale membrilor lor converg.
  • serii divergente pentru care seria compusă din valorile absolute ale membrilor lor sunt divergente.
  • serii divergente pentru care seriile compuse din valorile absolute ale membrilor lor converg.

Luați în considerare trei situații:

  1. Să. Prin urmare, având în vedere convergența integrală, integrală, adică converge absolut integrale. Prin urmare, prin Teorema 1, ar trebui să fie convergența integralei.
  2. Luați în considerare al doilea caz. Integrarea de către părți. obținem în cazul în care, și converge absolut. Prin urmare, integrala converge converge. Integral cu cote, ceea ce înseamnă că integrala converge în mod condiționat.
  3. Luați în considerare. Folosind criteriile Cauchy, dovedesc divergența integralei. Să. Alegeți un număr astfel încât, și să

    pentru că în cazul în care inegalitatea și apoi

    Evident, conditia Cauchy nu este îndeplinită și diverge integrale.

  • converge absolut;
  • converge condiționat;
  • diverge.