convergență absolută și condiționată a serii

Ia-o serie alternantă. în cazul în care numerele pot fi pozitive sau negative, și localizarea acestora în numărul aleatoriu.

Luați în considerare format din valorile absolute ale termenilor acestei serii.

Definiție: serie alternativ se numește absolut convergentă dacă seria. compus din module ale membrilor săi.

Convergența seriei presupune convergența seriei.

Definiție: În cazul în care seria este divergenta, și seria converge alternativ, este numit convergenta.

Având în vedere că seria este o serie de termeni pozitivi, pentru studiul problema convergenței sale pot fi considerate a aplica semne timpurii ale convergenței: semnele de comparație, d'Alembert, și alte integrală.

Exemplul 1: Pentru a investiga numărul absolut sau convergența condițională :.

Soluție: Setați numărul de module: - o serie de armonice, ea diverge. Pentru a studia convergența unei serii alternante de semnul original al lui Leibniz aplică: - Prima condiție este îndeplinită;

- a doua condiție este îndeplinită.

Astfel. pe baza seriei Leibniz converge.

Deoarece numărul de module la cote, iar seria converge alternativ, apoi converge condiționat.

Exemplul 2: Pentru a investiga numărul absolut sau convergența condițională :.

Soluție: setați numărul de valori absolute ale termenilor Dan-

o serie de putere: - o serie de putere generalizată. Deoarece exponent. apoi converge. În cazul în care seria de module, seria alternativă converge absolut.

Definiție: O expresie a formei numită funcțional aproape.

Definiție: Gradul de serie este o serie de funcții ale formei în care x - variabilă independentă - număr fix - coeficienți constanți.

Când seria de putere ia forma:

.

Definiție: Domeniul de convergență a unei serii de putere este setul de toate valorile lui x. în care seria converge.

Găsirea domeniului de convergență constă în două faze:

1) Se determină intervalul de convergență a seriei de putere, adică Număr interval linie simetric în jurul punctului x = 0, și având proprietatea că, pentru toate - seria converge. R - raza de convergență este dată de :.

2) studiază convergența convergenței la capetele intervalului, adică, la punctele x = -R și x = R.

În funcție de rezultatele studiului, regiunea de convergență este scris de una dintre următoarele inegalități:

Pentru o serie de putere a formei intervalului de convergență este de forma sau.

Exemplul 1: Găsiți zona de convergență a seriei de puteri.

Soluție: Să ne găsim raza de convergenta seriilor de putere.

În acest caz. atunci

Să ne scrie intervalul de convergență :. Noi investigăm de convergență a la capetele intervalului.

Atunci când primiți o serie de numere - este seria armonica, ea diverge.

Când vom ajunge serie alternativ. L-am examinat pe convergența prin tag-ul Leibniz: și

Ambele condiții sunt îndeplinite de caracteristici Leibniz, prin urmare, seria converge.

Luați în considerare numărul de module ale membrilor săi. Așa cum sa arătat mai sus, seria diverge. Se poate concluziona că, pentru o serie de puteri converge în mod condiționat.

Raspuns: Domeniul de convergenta a seriei.