Conectivitate și liniară de conectare într-un spațiu topologic - ∀ x, y, z

Luați în considerare un segment al liniei reale „> cu anumite pe ea topologia standard a liniei reale. De asemenea, presupunem că un spațiu topologic)“ >. Apoi, ultimul este numit conectat liniar în cazul în care există o mapare continuă este pentru oricare două puncte care.

Să se dea subset. Apoi, pe ea definită în mod natural _M topologie „>, induse“ >. Dacă spațiul _M \ dreapta) „> conectat calea, atunci subsetul este numit, de asemenea, conectat la cale.

Aprobarea. În spațiul „> conexitate și calea de-connectedness coincid.

Lăsați un subset de-cale conectat, adică, oricare două dintre punctele sale pot fi conectate printr-un segment. Apoi este conectat în sens topologic.

Să presupunem contrariul: a disjuncte, adică, se descompune în două seturi care nu se suprapun non-gol deschis (în topologia indusă). Apoi, din moment ce, acolo ,. Mai mult, procedura de împărțire în două a segmentului. Dacă ați fost deja găsit, și împărți în jumătate tăiat. Mid se află fie în sau în. Pentru segmentul următor vom lua lungimea de capetele căruia se află și în afară. Există un punct care aparține tuturor segmentelor, și, astfel, face parte din setul. În acest moment limita pentru ambele secvențe și. Punctul trebuie să aparțină fie sau. În ambele cazuri, unul dintre seturile conține un punct limită sau altul, adică, complementul său, și, prin urmare, unul dintre ele deschise.

Opusul este adevărat. Să subsetul de conectat, adică, nu se împarte în două disjuncte non-gol deschis (în topologia indusă) set. Apoi, oricare două dintre punctele sale pot fi conectate printr-un segment.

Să presupunem contrariul: există două puncte astfel încât. Acest lucru înseamnă că există un punct astfel încât. Apoi, în cazul în care. O contradicție.

Aprobarea. Să - spațiu topologic. Arătăm că legătura liniară a conexiunii ar trebui să fie.

Să presupunem contrariul: mulți set, dar nu este conectat, adică, este împărțit în două disjuncte non-gol deschis (în topologia indusă) conectat-cale. Deoarece, acolo ,. Datorită conexiunii liniare există o cale continuă astfel încât ,. imagine completă inversă este reprezentată ca un două disjuncte nevide deschis (datorită continuității) seturi (M)% 20 =% 20f ^ (A% 20 \ sqcup% 20B)% = 20% 20f ^ (A)% 20 \ sqcup% 20f ^ ( B) „> Dar acest lucru este imposibil, pentru că -. conectat.

Aprobarea. Să ^ n „> -. Deschideți Set este conectat dacă și numai dacă este conectat-cale.

Pe setul de raportul echivalent, după cum urmează. Punctele sunt numite echivalente, indicând faptul că, în cazul în care acestea sunt conectate într-un fel, adică există o hartă continuă astfel încât. Putem verifica dacă această definiție nu definește într-adevăr, o relație de echivalență.

În consecință, setul este împărțit în clase de echivalență disjuncte. Clasa care conține punctul, notată cu.

Ne arată că deschisă. Într-adevăr, să presupunem că dat un punct arbitrar. Având în vedere transparența există o minge. Mingea este convex, liniar și pentru că chiar și într-o linie dreaptă este conectat. Fiecare punct de vedere legat de tranzitivitate la punct prin punctul de aceea, și, prin urmare, deschis.

Supliment este, de asemenea, deschis ca un gol sau este unirea celorlalte clase, care sunt de asemenea deschise.

Presupunând că nu este conectat liniar, atunci va fi seturi deschise non-gol. Considerăm că setul este împărțit în două nepersekayuschihsya, goale și deschise.

Astfel, setul deschis conectat liniar poate fi conectat.

Aprobarea. Varietatea ^ n „> conectat dacă și numai dacă este conectat-cale.

Inaugurăm o relație de echivalență soi, după cum urmează. Punctele sunt numite echivalente, indicând faptul că, în cazul în care acestea sunt conectate într-un fel, adică există o hartă continuă astfel încât. Putem verifica dacă această definiție nu definește într-adevăr, o relație de echivalență.

Prin urmare, colectorul se împarte în clase de echivalență disjuncte. Clasa care conține punctul, notată cu.

Ne arată că deschisă.

Să. Deoarece colectorul, atunci există un cartier care este afișat pe homeomorphism ^ n „>. În apropiere se află o bilă, care este conectat liniar.

Să - un punct arbitrar al mingea. Acesta este conectat printr-o cale cu un punct. Acest lucru înseamnă că există o hartă continuă, astfel încât și.

Ridicarea mingea și punctul său arbitrar înapoi la colectorul, un cartier, și să obțină punct arbitrar.

Maparea va fi calea care face legătura între punctul arbitrar litera c.

Astfel, fiecare punct este conectat printr-un punct prin punct, prin urmare, și, prin urmare, deschis.

Supliment este, de asemenea, deschis ca un gol sau este unirea celorlalte clase, care sunt de asemenea deschise.

Presupunând că nu este conectat liniar, atunci va fi seturi deschise non-gol. Considerăm că soiul este împărțit în două nepersekayuschihsya, goale și deschise.

manifold Astfel, legat liniar de ^ n „> nu poate fi conectat.