Condițiile necesare și suficiente pentru existența operatorului invers

Curs 5. înapoi la operator și o matrice inversă

5.1. Definiția. Relația dintre existența operatorilor inverse stânga și dreapta în spațiul finit-dimensional.

5.2. Condițiile necesare și suficiente pentru existența operatorului invers.

5.3. Matricea inversă.

5.4. Teorema asupra produsului operatorului invers al operatorilor, operatorul lucrează la un număr. Teorema reversibilității operatorului luând baza bazei.

5.5. Matricea de transformare a operatorului în timpul tranziției spre o nouă bază.

5.6. Coordonatele vector de transformare pentru o schimbare de bază.

5.1. Definiția. Relația dintre existența inversul stânga și dreapta
operatorii într-un spațiu finit.

Să - și spațiu liniar - un operator liniar în ea.

Definiția. Un operator liniar se numește invers stânga. dacă îndeplinește.

Un operator liniar este numit un drept invers al operatorului. în cazul în care.

Definiția. Dacă există un operator, care este în același timp un stânga și invers dreapta. este numit operatorul invers și este notat. Aceasta este definiția operatorului invers .:

Operatorul numit reversibil (nedegenerata).

Teorema. o afirmație evidentă: în cazul în care operatorul are atât un invers la stânga și la dreapta un invers. atunci.

Există exemple când există o singură față inversă, iar al doilea nu este. Într-adevăr, ia în considerare spațiul liniar infinit dimensional al tuturor polinoamelor - și operatorul de diferențiere, integrarea acesteia:

Este în spațiu infinit dimensional, dar așa cum este cazul în finit?

Dovedim teorema: Dacă - spațiul liniar dimensional și - operatorul liniar care le-a lăsat invers. este, de asemenea, un invers dreapta, adică, este pur și simplu operatorul invers ..:

Având în vedere. - dimensional, există o bază de vectori. . .... Luați în considerare acțiunea operatorului pe vectorii de bază, rezultatul indicat. (). (5.1)

Arătăm că vectorii formează, de asemenea, o bază.

Substitut în combinație liniară a ecuației vectorului (5.1) și acționează pe ea de către operator:

Deoarece vectorii () - bază. Prin urmare, de asemenea, vectorii de bază. Noi acționăm asupra lor de către operator:

În rezultatul va acționa de către operator:

În cazul în care operatorul liniar nu se schimba vectorii de bază, atunci nu se schimba nici un vector este o combinație liniară de vectori de bază:

Condițiile necesare și suficiente pentru existența operatorului invers.

Să - și spațiu liniar - un operator liniar în ea.

Dovedim afirmația: în cazul în care operatorul liniar transformă orice vector nenul într-un vector (zerouri nenul) de zero. inversă (nu) nu există pentru el.

Ia orice operator. multiplica pe stânga de către operator primite și actul cu privire la orice vector:

Aici am folosit afirmația evidentă: orice operator liniar transformă vectorul de zero la zero :.

Pe de altă parte ,. Ie Ea nu există.

Dacă se dovedesc afirmația înlocui orice vector nenul în atare la-o puțin, se dovedește prin absența unui invers stânga pentru.

Exemplu: luați în considerare spațiul aritmetic n-dimensional și care acționează în ea operatorul. Primul orb de coordonate la 0 și nu ostolnye mine. Ia un vector nenul. În cazul în care. atunci nu există nici o întoarcere.

În consecință, condiția necesară pentru existența operatorului invers este o cerință. dar nu este suficient.

Exemplu: să presupunem. Ia-operatorul de integrare. . Apoi, o condiție necesară este de forma:

Aici, condiția necesară este îndeplinită și operatorul invers, așa cum este prezentat anterior, în general, nr.

Teorema. În spațiul finit-dimensional o condiție necesară pentru existența operatorului invers este de asemenea suficientă.

- spațiu liniar dimensional. . ..., - baza acesteia. Să aplicăm operatorul pe vectorii de bază, vom obține vectorii (5.1). Arătăm că ele formează, de asemenea, o bază.

deoarece vectorii () - bază. Prin urmare, de asemenea, vectorii de bază.

După cum se arată în capitolul anterior, există un operator unic liniar. care se traduce vectorii de bază. .

Luați în considerare acțiunea operatorului pe vectorii de bază:

Dacă vectorii de bază ale operatorului acționează ca o unitate, atunci pentru orice vector avem:

Și, din moment ce - spațiu finit-dimensional.

Să - spațiu liniar dimensional și care acționează în ea este inversabil:

Ia bază. . .... În această bază, operatorii și să îndeplinească o parte din matrice. Noi le reprezintă. În mod natural numita matrice, matricea inversă.

Deoarece spațiul liniar al matricelor pătrate de ordine este izomorf în spațiul din jurul operatorilor liniari în alt spațiu tridimensional adecvat, respectiv (5.2), obținem:

Dacă există o matrice. matricea se numește reversibilă (nedegenerat). Atunci când se iau determinantul matricei (5.3), obținem o egalitate numerică:

Prin urmare, în cazul în care matricea este inversabilă, atunci determinantul nu zero. Dacă vă amintiți expresia explicită a matricei inverse a determinantul matricei originale și cofactori elementelor sale, se poate spune că este o condiție necesară pentru reversibilitatea matricei este de asemenea suficientă.

5.4. Teorema asupra operatorului invers funcționează operatorii de lucru
numărul operatorului. Teorema reversibilității operatorului luând baza bazei.

Teorema. În cazul în care - două operatorul reversibil, atunci produsul lor - de asemenea inversabil, cu

În cazul în care - operatorul inversabilă și numărul. operatorul este, de asemenea, reversibil, și

Ia activitatea operatorilor. înmulțiți-l pe stânga. și apoi la stânga pe

În cazul în care operatorul de multiplicare de către operator a obține din nou operatorul de identitate. ceea ce dovedește afirmația noastră.

Teorema. În cazul în care operatorul are o bază în bază, acesta este un operator inversabilă.

Dovada. Având în vedere: un spațiu liniar dimensional și două baze (), în care;

Transformarea laturile din stânga și din dreapta ale ultimei relația (5.4) pe partea stângă în locul expresiei substitut prin și să ia în afara operatorului:

La dreapta coeficienți zero formează combinația liniară a vectorilor nule. . Raportul (5.4) ia forma:

. și anume și ținând cont de operatorul finit-dimensional este reversibilă.