condiții suficiente pentru un extremum - studopediya

Să diferențiabilă funcția într-un cartier de două ori și derivabile în punctul. în care un punct - punct posibil extremum al funcției, adică ... Apoi, când al doilea diferențial este definit (definit negativ) formă pătratică pozitivă a variabilelor. funcția are un minim local (maxim). Dacă este o formă pătratică de semn variabilă, funcția punct nu are nici o extremelor locale.

Luați în considerare cazul a două variabile. Să diferențiabilă funcția într-un cartier de două ori și derivabile în punctul. în care un punct - punct posibil extremum al funcției, adică ... Introducem notația:

Apoi, pe baza criteriilor de mai sus și Sylvester semn-definiteness a formei pătratice, cunoscut din algebra liniară, urmați următoarele concluzii:

1) în cazul în care. apoi indicați funcția are un extremelor locale, iar cea maximă, minimă, și în cazul în care, în cazul în care;

2) în cazul în care. la funcția de fapt nu a extremelor locale;

3) în cazul în care. apoi la funcția poate avea un extremelor locale, sau pot să nu-l avea.

Referindu-se la definiția extremum condiționată. Luați în considerare funcția cu condiția ca argumentele sale sunt relații interconectate. Condiții recente de conectare apel. Să coordonatele punctului îndeplinesc condițiile de comunicare.

Definiția 10.3. Functia are un minim relativ la punctul subiectului (maxim) la comunicare. în cazul în care există o vecinătate a punctului. în cadrul căreia valoarea este cea mai mică (mai mare) din toate valorile funcției t. e. inegalitatea

Cu alte cuvinte, valoarea minimă relativă (maximă) - este cea mai mică (cea mai mare), valoarea funcției în punctul de nici o legătură cu toate punctele de un punct de cartier. ci numai aceia dintre ei care sunt interconectate condiții de comunicare.

Luați în considerare două metode de găsire a punctelor de extremum condiționate.

1. Metoda de eliminare. Dacă ecuația de constrângere

fie rezolvată în ceea ce privește unele variabile, cum ar fi variabilele. t. e.

studiul funcției unei extremum condiționate sub constrângeri reduce la studiul asupra funcției normale variabile extremelor (necondiționate):

2. Metoda Lagrange. funcţia Să

continuu diferențiabilă în vecinătatea punctului și rangul matricei Jacobi

în acest moment este egal. funcție

numit Lagrangian. Parametrii numit multiplicatorilor lui Lagrange. Formulăm condiții necesare și suficiente pentru existența unei extremum condiționate.

Cerințe preliminare. Pentru a este un punct constrâns de optimizare pentru funcția de ecuații de comunicare. este necesar ca coordonatele pentru anumite valori satisfac sistemul de ecuații

condiții suficiente. funcţia Să

de două ori continuu diferențiabilă în vecinătatea punctului. și lăsați în acest moment, condițiile necesare de existență a funcției extremelor condiționate în

Apoi, în cazul în care condițiile

al doilea diferențial al Lagrangianului este forma pătratică definit pozitiv (negativ), funcția în punctul este un minim strict condiționată (maxim). Dacă al doilea diferențial este forma pătratică nedefinită, atunci punctul nu este constrânsă de optimizare.

În cazul în care funcția este continuă pe un set mărginit închis. ea atinge ea valori maxime și minime. Aceste valori se poate și asume atât punctele interioare ale setului (puncte extremum), și la frontiera sa. Prin urmare, este necesar un studiu special al punctelor de frontieră ale setului.

Exemplul 10.1. Explorați funcția în extreme.

Decizie. Noi găsim punctele de staționare ale sistemului de ecuații:

Există un punct fix. Să vedem dacă acest lucru este un punct extrem al punctului. Am găsit a doua derivații:

Din moment. la punctul este extrem. Deoarece. apoi indicați funcția are un minim local egal.

Exemplul 10.2. Exploreaza extremum unei funcții de trei variabile

Decizie. Noi găsim derivatele parțiale de ordinul întâi:

Noi găsim punctele de staționare și.

Noi calcula derivatele parțiale de ordinul al doilea:

Noi forma matricea celei de a doua diferențiala funcției:

La punctul de minori sale principale

pozitiv. Prin urmare, în acest moment, funcția are un minim. Pentru a investiga functia de la punctul în care nu se poate utiliza criteriul Sylvester, t. Pentru a .. În acest moment nu există nici un extremelor. Într-adevăr ,. și cartier arbitrar mici a funcției ia valori pozitive și negative. De exemplu, în cazul în care. și dacă.

Exemplul 10.3. Găsiți extremum funcției furnizate prin metoda multiplicatorilor lui Lagrange.

Decizie. Forma funcției Lagrange

unde # 955; - multiplicatorilor lui Lagrange.

Noi investigăm funcția în extreme. Definim un punct fix, folosind condițiile necesare pentru o existență extremum. Noi găsim derivatele parțiale ale funcției și care egalează le la zero:

Prin urmare, există un punct fix. Verificați dacă acest punct este un punct de extremum. Calculăm al doilea diferențial. Pentru aceasta este necesar să se găsească un al doilea ordin derivate parțiale la punctul:

Apoi diferențial de ordinul doi poate fi scrisă astfel:

Din moment. apoi la caracteristica punct este condiționată din imigrație

Exemplul 10.4. Găsiți extremele condiționate de funcții

despre relația ecuației

Decizie. Funcții și în mod continuu de două ori derivabile. Matricea Jacobi în acest caz, are forma. și rangul său este egal cu unitatea, la toate punctele care satisfac ecuația de constrângere. Prin urmare, este posibil să se aplice metoda Lagrange. Scriem Lagrangianul:

Conform condițiilor necesare obținem sistemul

din care aflăm că pentru și

la. Astfel, funcția poate fi condiționată de extremelor la numai două puncte și.

Calculăm al doilea diferențial al Lagrangianului. deoarece

Găsim prima funcție diferențială. .

Punctele și diferențiale, și sunt legate de. Locație. În consecință ,. Apoi, al doilea punct Lagrangiana diferențial este forma pătratică pozitiv definită

și la punctul - o formă pătratică definită negativ

În consecință, funcția de cel puțin relativă. iar la punctul - maximă condiționată.

Exemplul 10.5. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției în zona închisă. având în vedere sistemul de inegalități.

Decizie. puncte de staționare definesc o funcție dată în domeniu, și de a studia comportamentul funcției pe granița. Noi găsim derivatele parțiale ale primei și a doua funcție de comandă:

Sistemului (o condiție necesară pentru existența extremelor) definesc un punct fix:

punct fix aparține domeniului și este un extremum (o condiție suficientă), t. K.

Ideea este un minim, din moment ce ambele. Noi investigăm comportamentul funcției pe granița. Pe axa Ox și cea mai mare valoare funcției ia zero, de la cele mai multe puncte la distanță t. E. Când. Acest punct și (Fig. 19).

Punctul - un punct minim. Pentru toate creșterile de funcții, cu toate acestea în zona este nevoie de cea mai mare valoare de la un punct.

Punctul - cel mai jos punct în regiunea de valori maxime ale funcției ajunge la un punct sau un punct.

Punctul - un punct minim. În cadrul domeniului de aplicare al celei mai mari valoarea funcției are un punct.

Rămâne să se calculeze valorile pixelilor. . . ; Valoarea calculată mai sus la:

Astfel, prin compararea toate valorile obținute ale funcției, pentru a alege cea mai mare dintre ele (la punctul) și cea mai mică (la punctul) valori:

Exemplul 10.6. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției în D. sistem dat inegalităților

Decizie. Regiunea este mărginită drept și parabole. Inițial examinăm funcția extremelor: găsi derivatele parțiale și a le echivala cu zero. Definim un punct fix:

Punct de staționare :. Utilizați condiții suficiente de extremelor:

Din moment. Funcția extremelor nu. Prin urmare, este nevoie de valori maxime și minime la limitele zonei predeterminate.

Noi investigăm comportamentul funcției la limitele câmpului.

1. În cazul în care. . . -. Punct minim, care este de a ..

Avem două puncte critice:

În a doua condiție suficientă. Prin urmare, M1 - punctul de minim. Deoarece. M2 - un punct maxim. Calculăm valorile funcției la aceste puncte:

3. Calculati valoarea funcției la punctele de frontieră și

Alege cea mai mare și cea mai mică valoare a valorilor găsite:

Astfel, cea mai mare valoare și cea mai mică valoare a funcției în zona predeterminată face

Exploreaza extremum din următoarele funcții de mai multe variabile: