Condiția că funcția limită

6.4. Condiția că funcția limită

Conform definiției limitei funcției (Sec. 6.1), astfel încât limita f funcția (x) f (x), xX. trebuie să X0 pentru orice secvență xn. xnX. n = 1, 2 a existat dincolo f (xn) și au fost egale. Să ne arată că a doua condiție rezultă din prima. Adică, fără să își asume egalitatea acestor limite, și presupunând doar existența lor, se poate dovedi egalitatea lor, și, prin urmare, existența funcției limită. Mai precis, demonstrăm următoarea afirmație.

Lema 2. Pentru ca funcția f (x), xX. are o limită determinată de caractere finit sau infinit în tochkex0. care este punctul final la infinit sau atingere mnozhestvaX. necesare și suficiente. la orice x0 posledovatelnostixn. xnX. n = 1 și 2. Secvența valorilor corespunzătoare ale funcției f (xn)> au o limită (caractere determinată finit sau infinit).
Necesitatea condițiilor de existență a f (x) este conținută în definiția funcției limită (a se vedea. (6.4)), care prevede că limitele f (xn) pentru toate condițiile din lema secvențe xn>.
Să demonstrăm suficiența acestei condiții pentru existența funcției limită.
Fie x0 x'n. x "n x0. x'nX. x" nX. n = 1, 2, și există limite f (x'n), f (x „n). Arătăm că acestea sunt egale. Să

și și Secvențele sunt subsequences .
Din cauza existenței unei limite a unei secvențe (finit sau infinit) implică existența aceleiași limite de la orice subsecvență, vom avea

Astfel, limitele secvenței f (xn)>, unde x0 xn. xnX. n = 1, 2 nu depind de aceste secvențe xn>. Notând limitele valorii totale secvențelor f (xn)> printr-o. obținem f (x) = a.