Conceptul de continuitate a
Să presupunem că un punct aparține domeniului funcției f (x) și orice ε-vecinătate conține un punct diferit de un punct de referință funcție câmp f (x). și anume punct este o limită punct stabilit. pe care o funcție f (x).
Definiția. Funcția f (x) se numește continuă în punctul a. dacă funcția f (x) este la o limită și această limită este egală cu valoare particulară f (a) funcția f (x) la punctul a.
Din această definiție, avem următoarea stare de continuitate funcției f (x) la punctul a.
Din moment ce, putem scrie
În consecință, pentru funcția continuă la un simbol și o limitare simbolul funcției de tranziție f caracteristici pot fi interschimbate.
Definiția. Funcția f (x) se numește un drept continuu (stânga) la punctul a. în cazul în care dreapta (stânga) această funcție limită într-un punct și există o anumită valoare f (a) funcția f (x), la litera a.
Faptul că funcția f (x) este continuă la un drept scris ca:
O continuitate la o funcție de scriere stânga f (x):
Notă. Punctele la care funcția nu posedă proprietatea de continuitate, numite puncte de discontinuitate a acestei funcții.
Teorema. Să presupunem că într-unul și același set de funcții specificate f (x) și g (x). continuă la punctul a. Apoi, funcția f (x) + g (x). f (x) -g (x). f (x) · g (x) și f (x) / g (x) - continuă la (în caz de nevoie necesită suplimentar g privat (a) ≠ 0).
Continuitatea funcțiilor de bază elementare
1) Funcția de putere y = x n pentru natural n continuu pe linia reală întreg.
În primul rând, considerăm funcția f (x) = x. Prin determinarea întâi funcția limită de la o secvență de a lua orice n>. converg spre o. în timp ce secvența corespunzătoare a valorilor funcțiilor n) = xn> va converge de asemenea, la un. adică, este o funcție f (x) = x este continuu în orice punct al liniei reale.
Acum considerăm funcția f (x) = x n. unde n - un număr întreg, atunci f (x) = x · x · ... · x. Vom trece la limita x → a. Obținem, adică funcția f (x) = x n continua pe linia reală.
2) Funcția exponențială.
Funcția exponențială y = a x când a> 1, este o funcție continuă, în orice punct al unei linii drepte infinit.
Funcția exponențială y = a x când un> 1 îndeplinește următoarele condiții:
3) Funcția logaritmică.
Funcția logaritmică este continuă și în creștere în întreaga jumătate x> 0 pentru> 1 și scade și este continuă pe tot parcursul jumătate x> 0 pentru 0 4) Funcții hiperbolice.
Din definiția funcției hiperbolice care cosinus hiperbolic, sinus hiperbolic și tangentă hiperbolică sunt setate pe întreaga axă reală și cotangentă hiperbolic definit pretutindeni pe axa reală, cu excepția punctului x = 0.
Funcții hiperbolice sunt continue la fiecare punct de locurile lor de muncă (acest lucru rezultă din continuitatea funcției exponențiale și a unei acțiuni teorema aritmetică).
5) Funcția de putere
Funcția de putere y = x a = a α x este continuu LOGA în fiecare punct al jumătății deschis x> 0.
6) Funcțiile trigonometrice.
Functiile sin x și cos x sunt continue în fiecare punct x linia infinit. Funcția y = tg x este continuu în fiecare dintre fantele (kπ-π / 2, kπ + π / 2). funcția y = ctg x este continuu la fiecare intervale ((k-1) π, kπ) (aici peste tot k - este orice număr întreg, adică, k = 0, ± 1, ± 2, ...).
7) trigonometrice Inverse.
Funcția y = arcsin x și y = x ARccOS sunt continue pe intervalul [-1, 1]. Funcția y = arctg x și y = arcctg x sunt continue pe o linie infinit.
Două limite remarcabile
Teorema. Funcția limită (sin x) / x la x = 0 și există, adică,
Această limită se numește prima limită remarcabilă.
Dovada. când 0 Aceste inegalități sunt valabile și pentru valorile lui x. care îndeplinește condițiile de -π / 2 Teorema. Funcția limită atunci când x → ∞ există și este egal cu numărul de e. Această limită se numește a doua limită remarcabilă. Notă. Este de asemenea adevărat că Teorema. Lăsați funcția x = cp (t) este continuă în punctul a. funcția y = f (x) este continua = φ b (a). Apoi, funcția compozit y = f [φ (t)] = F (t) este continuă în punctul a. Fie x = φ (t) și (x) y = f - functii elementare simple setul de valori ale lui x = φ (t) este domeniul definirea funcției y = f (x). După cum știm, funcțiile elementare sunt continue la fiecare punct al domeniului de definiție. o funcție complicată y = f (φ (t)) Prin urmare, teorema precedentă. că este o suprapunere a două funcții elementare, este continuă. De exemplu, funcția este continuă în orice punct x ≠ 0. ca funcție complexă a două funcții elementare x = t-1 și y = sin x. De asemenea, funcția y = ln sin x este continuu la orice intervale punctuale (2kπ, (2k + 1) π). k ∈ Z (sin x> 0).Continuitatea funcțiilor complexe