Concepte de bază ale teoriei probabilității

Cel mai simplu definit conceptele de bază ale teoriei probabilității ca o disciplină matematică în așa-numita teorie probabilitate elementară. Fiecare test T, luate în considerare în teoria probabilității elementare este de așa natură încât se termină într-unul și numai unul dintre rezultatele, sau cum se spune, unul dintre evenimentele elementare # 969; 1. # 969; 2. # 969; s. Fiecare rezultat # 969; k asociat număr negativ pk - probabilitatea acestui rezultat. Numerele pk trebuie, astfel, adăuga până la unul. Apoi discută evenimentele A, care constă din faptul că „se produce sau # 969; i. sau # 969; j. sau # 969 ;. K „Rezultatele # 969; i. # 969; j. # 969; k (numit favorabil A, și, prin definiție, se crede ca probabilitatea P () evenimente A A, egal cu valoarea pe probabilități rezultate favorabile:
P (A) = pi + pj +. + Pk. (1)

Un caz special p1 = p2 =. = Ps = 1 / s conduce la formula
P (a) = r / s (2)
exprimând așa numita definiția clasică a probabilității, prin care probabilitatea unui eveniment A este egal cu raportul dintre numărul r de rezultate favorabile la A, la numărul s tuturor rezultatelor „la fel de probabil“. Probabilitatea de calcul reduce la numărarea numărului de rezultate favorabile și evenimentul A este adesea dificilă problemă combinatorie.

Exemplu. Când două zaruri aruncat fiecare din cele 36 de rezultate posibile pot fi desemnate (i, j), unde i - numărul de puncte pe primul os pull-down, j - al doilea. Rezultatele sunt presupuse a fi la fel de probabile. Eveniment A - "scor = 4", favorizează trei rezultate: (1, 3), (2, 2), (3, 1). Prin urmare, P (A) = 3/36 = 1/13.

Problema modului de a determina valorile numerice ale pKa probabilități în această problemă specială se află în principal în afara teoriei probabilității ca o disciplină pur matematică. În unele cazuri, alegerea acestor valori se bazează pe rezultatele de prelucrare a unui număr mare de observații. În alte cazuri, poate exista o predicție teoretică a probabilității cu care anumite evenimente vor avea loc în acest test. O astfel de predicție se bazează adesea pe o relație obiectivă simetrie între condițiile în care se efectuează testul, iar rezultatele acestor teste, și conduce apoi la formula (2). Să presupunem, de exemplu, testul constă din zaruri de plantare, care este cubul unui material omogen. Apoi, putem presupune că, cu probabilitate 1/6 osoasă poate cădea pe fiecare dintre fețele lor. În acest exemplu, ipoteza probabilitate egală a rezultatelor este în concordanță cu experimentul. Exemple de acest fel, și a servit ca bază pentru definirea clasică a probabilității.

Mai multe explicații subtilă și profundă pentru probabilitatea egală a rezultatelor, în unele cazuri speciale, având în vedere așa-numita metodă de funcții arbitrare. Esența acestei metode poate fi explicată după cum urmează, în exemplul de aruncarea zaruri. Să experiența livrată în așa fel încât efectele aleatorii asupra osului din aer poate fi considerat neglijabil. Apoi, dacă sunt date exact poziția inițială, viteza inițială a osului și a caracteristicilor sale mecanice, mișcarea poate fi calculată în conformitate cu legile mecanicii clasice și rezultatul experimentului poate fi prezis în mod fiabil. Practic condițiile inițiale nu pot fi niciodată fixată cu precizie absolută, și de exemplu, schimbări chiar foarte mici în vitezele inițiale conduc la un rezultat diferit în cazul în care doar timpul t din momentul căderii să arunce suficient de mare. Se pare că, în ipoteze foarte largi în ceea ce privește distribuția valorilor inițiale ale probabilităților (de unde și numele metodei), probabilitatea de fiecare din cele șase rezultate posibile tinde să 1/6 atunci când t → ∞.

Un alt exemplu - amestecarea unui pachet de cărți cu scopul de a obține probabilitate egală a tuturor locațiilor posibile. Aici, trecerea de la o carte la alta locatie, de obicei, este probabilist, în natură, cu târșâit prioritizare. Faptul că dorința de probabilitate egală metode de teoria lanțurilor Markov stabilite.

Ambele cazuri pot fi incluse în teoria generală ergodică.

Pe baza oricare dintre aceste evenimente, puteți defini două noi evenimente: unirea lor (suma) și combinația de (produsul). Eveniment B se numește uniunea (sau valoarea) evenimente A1. A2. Ar. în cazul în care are forma: „vine sau A1 sau A2, sau Ar ..“. C se numește înregistrarea evenimentului (sau produsul) evenimente A1. A2. Ar. în cazul în care acesta este: „vin și A1 și A2 și Ar ..“.

Evenimente Combinarea reprezintă o combinație a semnului de U. - semna ∩. Astfel, ei scriu:
B = A1 A2 U U. U Ar. C = A1 ∩ A2 ∩. ∩ Ar.

Evenimente D și E sunt numite incompatibile dacă punerea lor în aplicare simultană este imposibilă, adică, în cazul în care nu există nici rezultate de testare între un singur favorabil și D, și E.

Cu operațiunile introduse asociate cu două teoreme fundamentale ale teoriei probabilității elementare - teoreme de adăugare și de înmulțire a probabilităților.

Teorema plus. Dacă evenimentele A1. A2. Ar astfel încât fiecare două dintre ele se exclud reciproc, probabilitatea unirii lor este egală cu suma probabilităților lor. Astfel, în exemplul de mai sus, aruncarea a două zaruri, evenimentul B - „suma punctelor nu depășește 4“ este unirea a trei evenimente A2 disjuncte. A3. A4. constă în faptul că totalul este respectiv 2, 3, 4. Probabilitățile acestor evenimente de 1/36, 2/36 și 3/36. Conform teoremei plus probabilitate egală B
+ + 2/36 1/36 3/36 = 1/6

Probabilitatea condiționată a evenimentului B, subiectul A (P (F)> 0) este determinată prin formula
,
care poate fi afișată, este în deplină conformitate cu caracteristicile de frecvență. eveniment A1. A2. Ar numit independent, în cazul în care probabilitatea condiționată de fiecare dintre ele, cu condiția ca oricare dintre ceilalți vin, este probabilitatea lui „necondiționată“ (a se vedea. Ca „independență“ în teoria probabilității).

Teorema de multiplicare a probabilităților. Probabilitatea evenimentului combinației A1. A2. Ar este egală cu probabilitatea evenimentului A1 multiplicată cu probabilitatea evenimentului A2. luate cu condiția ca A1 a sosit. înmulțită cu probabilitatea de evenimente Ar, cu condiția ca A1. A2. Ar-1 a venit. Pentru evenimente independente, teorema de multiplicare conduce la formula
P (A1 ∩ A2 ∩. ∩ Ar) = P (A1) • P (A2) •. • P (Ar), (3)
adică probabilitatea intersecției de evenimente independente este produsul probabilităților acestor evenimente. Formula (3) rămâne valabilă în cazul în care ambele părți sale sunt unele dintre evenimentele se înlocuiește cu opusul lor.

Exemplu. 4 fotografii realizate cu obiectivul lovit de probabilitate de 0,2 pentru o singură lovitură. Hit țintă la fotografii diferite sunt presupuse a fi evenimente independente. Care este probabilitatea de a lovi ținta exact de trei ori?

Fiecare rezultat al testului poate fi indicată printr-o secvență de patru litere [de exemplu, (y, n, n, y) înseamnă că primul și al patrulea focuri au fost lovite (succes), în timp ce al doilea și al treilea - rezultatul nu a fost (eșec)]. Vor fi 2 • 2 • 2 • 2 = 16 rezultate. În conformitate cu ipoteza independenței rezultatelor shots individuale urmează pentru a determina probabilitățile acestor rezultate ale utilizării formula (3) și nota la aceasta. Astfel, probabilitatea unui rezultat (y, n, n, n) ar trebui să fie egală cu
0,2 0,8 • • • 0,8 0,8 = 0.1024;
aici 0.8 = 1 - 0.2 - probabilitatea unui dor pentru o singură lovitură. Eveniment "în obiectivul este de trei ori" sunt rezultatul favorabil (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y), (n, y, y, y) probabilitatea fiecăruia și la fel:
0.2 • 0.2 • 0.2 • 0.8 =. = 0,8 • 0,2 • 0,2 • 0,2 = 0,0064;
Prin urmare, probabilitatea este solicitată
4 • 0,0064 = 0,0256.

Rezumând argumentele parsate exemplu, puteți afișa una dintre formulele de bază ale teoriei probabilității: dacă evenimentele A1. A2. Un independent și au fiecare probabilitatea p, atunci probabilitatea de exact m sunt egale
; (4)
aici reprezintă numărul de combinații de n elemente m (cm. distribuție binomială). Pentru n mare prin calcularea formulei (4) devine dificilă. Să presupunem că în exemplul anterior, numărul de fotografii este de 100, iar problema de a găsi probabilitatea x că numărul de accesări în intervalul de la 8 la 32. Utilizarea cu formula (4) și teorema plus oferă exacte, dar expresia practic suficient de potrivită probabilitate inițială:

Valoarea aproximativă a probabilității x poate fi găsit prin teorema lui Laplace:

Mai mult decât atât, eroarea nu depășește 0,0009. rezultat găsit arată că 8≤m≤ eveniment<32 практически достоверно. Это самый простой, но типичный пример использования предельных теорем теории вероятностей.

Principalele formule de teoria probabilităților elementar se aplică și așa-numita formulă totală de probabilitate. Dacă evenimentele A1. A2. Ar, incompatibile între ele, iar unirea lor este un anumit eveniment, pentru orice eveniment B este egal cu suma probabilității sale

Teorema înmulțirii probabilităților este utilă în special atunci când se analizează testele componente. Ei spun că testul T este format din testul T1. T2. 1-tn. Tn. În cazul în care rezultatul fiecărui T test este o combinație a unora dintre rezultatele din Ai. Bj. XK. Yl testele corespunzătoare T1. T2. 1-tn. Tn. Dintre cei sau din alte motive cunoscute de multe ori probabilitate
P (Ai), P (Bj | Ai). P (Yl | Aj ∩ ∩ ∩ Bj Xk.). (5)

Prin probabilități (5) folosind teorema de multiplicare poate fi determinată prin probabilitatea P (E) pentru toate compus rezultatele E testate și în același timp și probabilitățile tuturor evenimentelor asociate cu acest test (similar cu modul în care acest lucru a fost făcut în exemplul de mai sus) . Cel mai important din punct de vedere practic, două tipuri de procese combinate: a) componente ale studiilor sunt independente, adică, probabilitatea (5) sunt probabilitățile necondiționate P (Ai), P (Bj). P (Xk), P (Yl);
b) probabilitățile rezultatelor oricăror rezultate ale testelor afectează numai testul imediat precedent, adică, probabilitatea (5) sunt, respectiv, P (Ai), P (Bj | Ai). P (Yl | xk). În acest caz, vorbim despre, un lanț Markov încercări. Probabilitățile tuturor evenimentelor asociate cu testul compozit, este determinată de probabilitățile inițiale P (Ai) și probabilitățile de tranziție P (Bj | Ai). P (Yl | xk) (a se vedea procesul Markov.).

"Treater" Web-site-ul (termist.com)
rigidizarea termomecanic de bare de armare

Absența referiri la materialul utilizat este o violare a „Să nu furi“ poruncă