câmp număr algebrice

Cel mai mic și de bază câmpul numeric - domeniul numerelor raționale Q>.
numere raționale Gaussian, Q denotat (i) (i)> - Exemplu nontrivial primul câmp numeric. Elementele sale - expresii ale formei

a i + b unde a și b sunt numere raționale, i - unitate imaginară. Astfel de expresii pot fi adăugate și multiplicate cu regulile obișnuite de operații cu numere complexe. și fiecare element nenul are un invers, așa cum rezultă din ecuația (a + bi) (aa 2 + b 2 - ba 2 + b 2 i) = (a + bi) (a - bi) a 2 + b 2 = 1 . + b ^ >> - + b ^ >> i \ dreapta) = + b ^ >> = 1.> Din aceasta rezultă că numere raționale formează un câmp gaussiană care este spațiul bidimensional peste Q> (adică câmpul pătratic).

Mai general, pentru orice piețe libere întreg d Q (d) (>)> este o extensie pătratică câmp Q>.
Q Rotary câmp (ζ n) (\ zeta _)> se obține prin adăugarea unui Q> n rădăcină primitivă a -lea unitate. Câmpul conține toată întinderea (adică, toate rădăcinile n-lea de unitate), dimensiunea sa peste Q> este egal cu funcția Euler cp (n).
numere reale și complexe sunt de grad infinit peste rațional, astfel încât acestea nu sunt câmpuri numerice. Acest lucru rezultă din uncountability de: orice câmp numeric este numărabil.

Inelul de întregi ale unui câmp numeric

Deoarece câmpul numeric este o extensie algebrică câmp Q>. orice element este rădăcina unui polinom cu coeficienți raționale (adică o algebrică). Mai mult decât atât, fiecare element este rădăcina unui polinom cu coeficienți întregi, pentru că puteți multiplica toți factorii raționale în produsul numitorilor. Dacă elementul activ este rădăcina unui polinom redus cu coeficienți întregi, este numit membru integral (sau întreg algebric). Nu toate elementele câmpului număr întreg, de exemplu, este ușor de a arăta că singurele elemente întregi Q> - acestea sunt numere întregi obișnuite.

Putem dovedi că suma și produsul a două numere întregi algebrice - din nou un întreg algebrică, elemente astfel încât întregi formează un subinel de un câmp număr K. numit inelul de întregi K și notate O K> _>. Acest câmp nu conține nici un zero și această proprietate este moștenită în timpul tranziției la subinel, astfel încât inelul de integritate; câmpul câtul de O K> _> - este foarte câmpul K. Inelul de întregi din orice câmp numeric oladaet următoarele trei proprietăți: este integral închis. Noetheriene și unidimensionale. inel comutativ cu aceste proprietăți este numit după Dedekind Richard Dedekind.

Factorizarea în prim grup și clase

Într-un inel Dedekind arbitrar are o descompunere unică a idealurilor nenuli în activitatea din comun. Cu toate acestea, nu doar orice inel de numere întregi satisface factorial de proprietate. chiar și pentru inelul de întregi pătratice câmpului O Q (- 5) = Z [- 5]> _ (>)> = \ mathbb [>]> descompunere nu este unic:

Intrarea inelul de la această rată, putem arăta că aceste extinderi sunt foarte diferite, adică, nu se poate obține dintr-o altă înmulțire cu un element inversabilă.

Gradul de proprietăți tulburări factoriality măsurate folosind grupul de clasă ideală. Acest grup este pentru inelul de numere întregi este întotdeauna finit și ordinea sa referit la numărul de clase.

Baze câmp numeric

Întreaga bază

Întreaga baza câmpului numărul F de gradul n - acest set

n elemente din inelul de numere întregi de F. astfel încât fiecare element al inelului, al întregului câmp F poate fi scris în mod unic ca o combinație liniară a elementelor Z B; care este, pentru orice x din de are loc o descompunere unică

unde mi - numere întregi obișnuite. În acest caz, orice element al F poate fi scris ca

unde mi - numere raționale. După tot acest elemente ale F sunt selectate de proprietatea că tocmai acele elemente pentru care toate mi sunt numere întregi.

Utilizarea istrument cum ar fi localizarea și Frobenius endomorphism. puteți construi o bază pentru orice câmp număr. Construcția sa este o funcție încorporată în multe sisteme algebrice de calculator.

bază de putere

Fie F - câmp Număr de gradul n. Dintre toate posibilele baze F (Q ca un spațiu vectorial), există baze de putere, adică baze de formă

pentru unele x ∈ F. Conform teoremei elementului primitiv. un x există întotdeauna, este numit un element primitiv al extensiei.

Un câmp numeric algebrică este un spațiu finit-dimensional vectorial peste Q> (dimensiunea notată pentru n) și înmulțirea cu un element arbitrar al unei transformări liniare a spațiului. Să e 1. e 2. ... e n, e _, \ ldots e_> - o bază atunci F. transformare x ↦ α x corespunde matricei A = (a i j))>. determinată de condiția

Elementele matricei depind de alegerea unei baze, dar nu depind de toate Invariantele matricei de la el, cum ar fi determinant și urme. În contextul extensiilor algebrice elementul determinant matrice de multiplicare se numește norma elementului (notat cu N (x)); matrice urme - urme de elemente (notată Tr (x)> (x)>).

Norma este funcția multiplicativ și omogenă:

Într-o bază [⇨] poate fi aleasă ca bază de pornire. înmulțirea prin întreg algebric (adică, elementul de întregi [⇨]) în această bază va corespunde matrice elemente cu întreg. În consecință, pista și rata oricărui element al inelului de întregi sunt întregi.

Un exemplu de utilizare a standardelor

Prin urmare, N (a + b d) = a 2 - d 2 b>) = a ^ -db ^>. Pe elementele inelare Z [d] [>]> Această rată este o valoare întreagă. Norma este un grup multiplicativ omomorfismelor Z [d] [>]> pe grupa Z multiplicativ>. cu toate acestea, rata elementelor inversabile poate fi egal cu 1 sau numai - 1. Pentru a rezolva ecuatia Pell 2 a - d b 2 = 1 -db ^ = 1>. este suficient pentru a găsi toate elementele inversabile ale inelului de numere întregi (numite, de asemenea, unități de apel) și să facă distincția între ele având una normala. Conform teoremei lui Dirichlet pe unități. toate elementele inversabile ale inelului sunt un element de grade (până la o multiplicare cu - 1), și, prin urmare, pentru a găsi toate soluțiile Pell pentru a găsi unul ne ajung soluție fundamentală.