Calcularea potențialului câmpului în coordonate carteziene - studopediya

Acesta poate fi folosit pentru a găsi potențialul funcției unui câmp potențial predeterminat

o (x, y, z) = P (x, y, z) i + Q (x, y, z) j + R (x, y, z) k.

Pentru aceasta fixa punctul de pornire M0 (x0 y0 z0 ..) și se alăture la punctul curent M (x, y, z) poligonale unități M0 AVM care sunt paralele cu axele de coordonate, și anume, M0 A # 9553; Oh, AB # 9553 ; Ou VM # 9553; Oz (figura 6.2). Apoi, (6.6) ia forma

unde x, y, coordonatele Z- ale punctului curent pe link-uri rupte linia a lungul căreia integrarea este realizată.

Exemplul 6.7. Dovedește că câmpul vectorial

a = (e + z) i + (x + z) j + (x + y) k

Este un potențial, și pentru a găsi potențialul său.

Decizie. Prima cale. O condiție necesară și suficientă pentru a potențialului câmp (M) este egal cu zero rot a (M). În cazul nostru,

t. e. un câmp de potențial. Potențialul acestui domeniu este determinată prin intermediul (6.10). Pentru punctul fix inițial ia originea O (0, 0, 0). Atunci vom obține

unde C este o constantă arbitrară.

Doilea mod. Prin definiție, potențialul este o funcție scalară pentru care grad # 966; = a. Această ecuație vector este echivalent cu trei ecuații scalare:

Integrarea (6.12) pentru x, obținem

unde f (y, z) este o funcție diferențiabilă arbitrară y și z. Diferențierea de ambele părți ale (6.12) și folosind (6.11), obținem o relație pentru a găsi funcția încă nedefinit f (y, z). avem

,

Integrarea (6.16) în raport cu y, avem

unde F (z) - funcția încă nedefinit de z. Substituind (6.17) în (6.11), obținem

.

Diferențierea ultima ecuație dată de z și raportul (6.12), obținem ecuația pentru F (z):

Aici. asa.

.

A treia metodă. Prin definiție, funcția diferențială totală au

Substituind derivatele parțiale. . expresiile lor de la (6,10), (6,11), (6.12), obținem

d # 966; = (Y + z) dx + (x + z) dy + (x + y) dz

sau, după transformări simple

d # 966; = (ydx + xdy) + (ZDX + xdz) + (ydz + ZDY) = d (xy) + d (xz) + d (yz) = d (xy + xz + yz).

Rezultă că

.

În acest caz, atunci când zona # 937; Este o stea cu centrul la originea O (0, 0, 0), potențialul # 966, (M) = un câmp vectorial și (M) la punctul M (x, y, z) poate fi găsită prin formula

unde r (M) = xi + yj + zk- vector raza unui punct M (x, y, z), și punctul (tx, ty, tz) rulează la segmentul de linie OM care trece prin punctul O și M.

Exemplul 6.8. Găsiți câmp potențial vector

a = yzi + xzj + xyk.

Decizie. Este ușor de observat că putrezi un vector ,. E. Având în vedere potențialul domeniu 0. Acest câmp este definit în toate cele trei dimensiuni, care este o stea cu centrul de la O origine (0, 0, 0), astfel încât localizarea utilizării sale potențiale (6.12). Deoarece, în acest caz,

a () = și (tx, ty, tz) = t 2 2 yzi + t + t xzj 2 xyk,

produsul scalar al vectorilor a () și r (M) este egal cu

(A (), r (M)) = t 2 (xyz + xyz + xyz) = 3t 2 xyz.