așteptările condiționate
Mintea nu este numai cunoașterea, ci și capacitatea de a aplica cunoștințele în practică. (Aristotel)
așteptările condiționale și probabilități condiționate sunt conceptele-cheie ale teoriei probabilității, în acești termeni diferența fundamentală între disciplina teoriei acțiunii (ceva timp în urmă a existat o opinie că teoria probabilităților este o ramură a teoriei măsurii, care, desigur, nu este adevărat).
În general, probabilitățile condiționate la dispoziția cercetătorilor este limba extrem de flexibil, este foarte util pentru a descrie multe fenomene stocastice.
În prezentarea noastră, vom folosi probabilitatea condițională prima carte excelenta, AN Shiryaev, „probabil“, apoi da o varietate de exemple de aplicații.
Punctul culminant al acestor concepte este speranța condiționată în ceea ce privește sigma-algebra. Vom discuta mai întâi așteptările condiționale în ceea ce privește partiții, care sunt un pas în direcția conceptului general de probabilitate în raport cu sigma-algebra.
Fie (A, P) - un spațiu de probabilitate finită și D = 1. ..., Dk> - un spațiu rezultate partiție (Di A. P (Di)> 0 i = 1, ... k și D1 + ... + Dk = ...). Să presupunem că, în continuare, A - un eveniment din A și P (A | Di) - probabilitatea condiționată a evenimentului A în ceea ce privește evenimentele Di.
Cu un set de probabilități condiționate
primirea de către atomii partitie Di valorile P (A | Di). Pentru a sublinia faptul că această variabilă aleatoare este asociată cu partiția D, P desemnată (A | D) sau P (A | D) (w) și se numește probabilitatea condiționată a evenimentului A cu privire la partiția D.
Acest concept, precum și introdus în termeni mai generali de probabilități condiționate în ceea ce privește sigma-algebre joacă un rol important în teoria probabilității care se va deschide treptat următoarea prezentare.
Să luăm în considerare cele mai simple proprietăți ale probabilităților condiționate:
dacă D - partiție trivială constând dintr-un set, atunci
Determinarea probabilității P condițională (A | D) ca o variabilă aleatoare face posibilă pentru a vorbi despre așteptările ei, care pot fi citite folosind un mod compact pentru a înregistra cu formula totală de probabilitate:
apoi prin definiție așteptarea
Acum, să = (w) - aleatorii valori variabile luand cu probabilități pozitive y1. .... YK:
unde Dj =
Probabilitatea condiționată P (A |) va fi notată P (A |) sau P (A |) (w), și se numește probabilitatea condiționată a evenimentului A în ceea ce privește variabila aleatoare.
Să ne, de asemenea, de P (A | = yj) înțelege probabilitatea condiționată P (A | Dj), unde Dj = j>.
În mod similar, în cazul în care 1. 2. .... m - variabile aleatoare, și - partiția generat de valoarea 1. 2. .... atomi m
desemnat P (A |. 1. 2. ... m) și se numește probabilitatea condiționată a unui eveniment A cu privire la variabilele aleatoare 1. 2. .... m.
Exemplul 1. Să presupunem că - două variabile aleatoare independente și identic repartizate, fiecare luând valorile 1 și 0 cu probabilitatea p și q. Să ne găsim pentru k = 0,1,2 probabilitatea condiționată P (+ = |) evenimentele A = relativă.
În acest scop, observăm mai întâi următorul fapt util generală: dacă - două variabile aleatoare independente, cu valorile lui x și y, respectiv, atunci
P (+ = z | = y) = P (+ y = z). (5)
Folosind această formulă pentru cazul în discuție, constatăm că
sau ceea ce este același lucru,
Să presupunem = (w) - o întâmplare cu valori variabile în setul X = l>:
și D =
La fel ca și pentru probabilitățile P (Aj), j = 1, .... Am așteptare a fost determinată
și prin probabilități condiționate P (Aj | D), j = 1, .... l este firesc să definim așteptarea condiționată a unei variabile aleatoare în raport cu partiția D, notată M (| D) sau M (| D) (w), Formula
Conform acestei definiții, speranța condiționată de M (| D) (w) este o variabilă aleatoare, gazdă pentru toate evenimentele elementare w. aparținând aceluiași atom Di. aceeași valoare
Această observație sugerează că o definiție a așteptărilor condiționate M (| D) ar putea fi abordată în mod diferit. Și anume, să definească mai întâi M (| Di) - așteptarea condiționată de x în ceea ce privește formula evenimentele Di
și apoi pus pe definirea
De asemenea, este util să se constate că valorile M (| D) și M (| D) sunt independente de metoda de reprezentare a variabilei aleatoare.
având în vedere în continuare proprietățile așteptărilor condiționate urmează direct din definiția:
M (a + b | D) = aM (| D) + bM (| D), a, b - constante; (12)
M (C | D) = C, C - constanta; (14)
M (| D) = P (A | D). (15)
Ultima ecuație arată, în special, că proprietățile probabilităților condiționate pot fi obținute direct din proprietățile așteptărilor condiționate.
O altă proprietate importantă generalizează formula probabilitate totală (5):
Este suficient să se constate că, în conformitate cu (5),
Să = D
unde yi pot fi egale. Cu alte cuvinte, variabila aleatoare D-măsurabilă dacă și numai dacă are valori constante pe partiția D a atomilor.
Exemplul 2. Dacă D - partiție triviale, D = <>, D-măsurabilă dacă și numai dacă = C, unde C - constantă. Fiecare variabilă aleatoare este măsurabilă în raport cu partiția.
Să presupunem că o variabilă aleatoare este D măsurabilă. atunci
M (| D) = M (| D) (17)
M (| D) = (M (|) =). (18)
Pentru a dovedi (17) observăm că în cazul în care
Pe de altă parte, având în vedere că avem
împreună cu (19) se dovedește (17).
Stabilim o altă proprietate importantă a așteptărilor. Să D1 și D2 - două partiții, cu D1 D2 (D2 "mai fin" D1). atunci
Pentru a demonstra acest lucru, să presupunem că
Apoi, în cazul în care
și suficiente pentru a stabili că
ceea ce dovedește (21).
În cazul în care partiția D este generată de variabilele aleatoare așteptare condiționată se notează cu M (|. 1. ... k) sau M (|. 1. ... k) (w). și a solicitat așteptarea condiționată în ceea ce privește x 1 .... k.
Direct din definiția M (|) rezultă că, dacă și sunt independente,
Din (18) rezultă de asemenea că
Proprietatea (22) admite următoarea generalizare.
Lăsați valoarea aleatorie este independentă de partiția D (adică, pentru orice valoare a Di D aleatorii și independente). atunci
(20) ca un caz special obținem următoarea formulă folositoare:
Exemplul 3. Pentru variabilele aleatoare și discutate în exemplul 1, vom găsi M (+ |). Prin (22) și (23) M (+ |) = M + = p +.
Acest rezultat poate fi obținut pornind de la (8):
Exemplul 4. Fie - variabile aleatoare independente și identic repartizate. atunci
Într-adevăr, presupunând pentru simplitate care ia valorile 1, 2, .... m, am descoperit că (1 k m, 2 I 2m)
Aceasta dovedește prima egalitate din (26). Pentru al doilea, este suficient să se constate că
Fiecare partiție D =
În mod similar și invers, orice algebra finită B subseturilor este generat de un perete despărțitor D (B = (D)). Astfel, între algebra și partiții spațiale finite la o corespondență.
Acest fapt trebuie avut în vedere în legătură cu mai târziu a introdus conceptul de așteptare condiționată în ceea ce privește anumite seturi de sisteme, așa-numitele algebre.
În cazul unor spații concepte finite de algebră și algebre coincid. Se pare că, dacă B - unele algebra, apoi administrate așteptarea ulterior condiționată de M (| B) a unei variabile aleatoare în ceea ce privește algebra B, la fel ca și M (| D) - așteptări x în raport cu partiția D, astfel încât B = (D ).
În acest sens, în cazul spațiilor finite în viitor nu vom distinge între M (| B) și M (| D), realizând doar în momentul în care M (| B) este prin definiție un M (| D).