Aplicații ale integrala definită
13. Aplicații ale integralei definit.
# 9; În această secțiune, vom discuta unele aplicații ale definit integrale, în principal geometrică - pentru calcularea suprafețelor și volumelor. Aici vom da ecuația și imaginea unui număr de curbe, care, cu care vom lucra.
1. cerc care trece prin originea sistemului de coordonate. Ecuația cercului cu centrul C (a, b) de rază R. (X - a) 2 + (y - b) 2 = R 2. Dacă circumferința trece prin origine, apoi a 2 + b 2 = R 2. și ecuația ia forma x 2 + y 2 = 2ax + 2BY. În coordonate polare, această ecuație arata ca acest lucru :. Cifra din dreapta arată trei astfel de cercuri (a = 0, b = 3/2), (a = 1, b = 0), (a = -1, b = -3/2).
2. Spiral. Arhimede în spirală. Figura prezintă o spirală și.
Logaritmică spirala. Figura prezintă o spirală și.
spirală hiperbolică. Figura prezintă o spirală și.
Săgețile de pe toate spirale indică direcția de creștere a parametrului.
3. cardioid. Trei dintre aceste curbe sunt afișate în partea dreaptă. Cartezian cardioid ecuație:
.
Ecuațiile parametrice cardioide:
Cardioid - un caz special de melc lui Pascal.
4. Bernoulli lemniscate. Expresia radicală este non-negativ, și când. Ecuația carteziană a unui lemniscate (x 2 + y 2) 2 = 2a 2 (x 2 - y 2).
Lemniscate - locul geometric al punctelor M (x y.) O astfel că. în cazul în care F1 (-a 0.) și F2 (a 0.) - lemniscate focare.
Figura prezintă o lemniscate.
5.Chetyrohlepestkovaya a crescut. ecuația cartezian (x 2 + y 2) = 4a 2 3 2 x y 2. Fiecare punct M (x y.) Din această curbă - suprafața OM normal. a scăzut de la origine pe segmentul AB de lungime constantă 2a. în mișcare, astfel încât capetele sale sunt pe axele de coordonate.
6. Sweep (evolventă) circumferențial Fiecare punct M (x y.) Din această curbă - capătul firului, care este derulată de pe circumferința x 2 + y 2 = a 2. rămas întinsă. La momentul t = 0 inițial capătul firului este în punctul A (a, 0).
7. Această curbă cicloida - traiectoria punctul M (x y.) Raza unui cerc. care se rostogolește fără derapaj pe axa Ox. La momentul t = 0 inițială punct este O (0, 0).
8. Ecuația carteziană astroidă. Fiecare punct M (x y.) Din această curbă - baza PM perpendicular. a scăzut de la origine la segmentul AB de lungime constantă a. în mișcare, astfel încât capetele sale sunt pe axele de coordonate. Punctul P - vârf al dreptunghiului construit pe segmentul AB ca diagonală. Figura arată astroidă cu = 2.
# 9; 13.2.1. coordonate carteziene. Punctul 11.1.4. am formulat sensul geometric al definit integralei: dacă f (x)> 0 pe intervalul [a, b]. zona este un ABCD trapez curbat. segment inferior Limited [a, b]. la stânga și la dreapta - dreapta x = a și x = b. top - funcția y = f (x). Corolar: dacă o figură mărginită deasupra curbei y = f (x). de mai jos - curba y = g (x). stânga și dreapta - segmente de linie dreaptă x = a și x = b. că suprafața sa este egală.
Exemplu: Găsiți zona regiunii D. delimitate de curbele y = x 2 + x + 11, y = 2 x - 9, cu condiția că (în continuare vom scrie acest :).
În rezolvarea acestor probleme, este esențial să se prezinte studiul obiectelor geometrice. Pentru a determina limita inferioară de integrare este necesară pentru a găsi punctul de intersecție al curbelor; ecuația x 2 + x + 11 = 2 x - 9 are două rădăcini: x = -1 și x = 2. O rădăcină adecvată - x = -1. Regiunea este delimitată de mai sus printr-o parabolă, de jos - dreapta dreaptă, - linia x = 1. Punctul cel mai din stânga - x = -1. prin urmare # 9; În cazul în care zona are o structură complexă, ar trebui să fie defalcate în părți simple.
# 9; 13.2.2. FIELD date în coordonate polare .. Dacă regiunea D - sector delimitat de grinzi, iar curba. Formula pentru calcularea suprafeței obținute prin următoarea structură integrală. Împărțim razele de interval pe n bucăți; . Pe fiecare dintre segmentele vom alege un punct arbitrar. găsi. Acesta este apoi egal cu aria sectorului de cerc delimitat de razele, iar raza arcului de cerc. Combinând aceste sectoare - a urcat din nou forma aproximarea această zonă D. zona sa. Când diferența dintre Sstup și S - pătrat zona D - va tinde, de asemenea, la zero, adică .
Exemple: 1. Găsiți zona delimitată de lemniscata.
# 9; Decizie: Punctul de lemniscata situat în sectoare și; În plus, atunci când este vorba de o astfel de problemă, este recomandabil să se folosească simetria figurii, astfel încât să putem găsi o parte a zonei, situată în sector și să-l de patru ori :.
# 9; 2. Găsiți o zonă care se află în interiorul cardioide în afara cercului.
# 9; Soluție: găsi diferența zonă situată într-un cardioid, și un cerc. La partea superioară a cardioide; pentru partea superioară a circumferinței. prin urmare
# 9; 3. Găsiți zona situată în interiorul cercului este o lemniscate.
# 9; Decizie. Punctele de intersecție ale cercului sunt lemniscate și starea CÂMPUL simetrică față de axa polară, deci vom calcula aria părții superioare și dublează. La trecerea de la raza polară variază de la; când se schimbă de la o rază polară variază de la 0 la; prin urmare
13.2.3. Regiunea este delimitată de curbele specificate parametric. Dacă curba delimitând o ABCD trapezoid curbată (.., A se vedea Calcul 11.1.1 zona trapezoid curbată) definită într-o formă parametrică; în tranziția către variabila t integralei conduce la formula.
Exemplu: pentru a găsi zona delimitată de astroidă ().
Soluție: Folosind simetria figurii. Vom găsi zona figurii, este situată în primul cadran (), de patru ori și-l. Punctul (0, a) se obține prin. litera (a 0.) - atunci când t = 0. Cu toate acestea
# 9; 13.3.1. Determinarea curbei și lungimea curbei se poate rectifica. Să presupunem că curba AB este definit avionul. Vom împărți punctele de curba A = M0. M1. M2. ..., Mi -1. Mi. ..., Mn = B în n părți și o curbă sapă linie întreruptă M0M1M2 ... Mi -1Mi ... Mn. conectarea acestor puncte. Lungimea Llom poligonal egală cu suma lungimilor legăturilor drepte care leagă punctele partitionare :. Acum am lăsat n numărul de puncte partiție la infinit, astfel încât lungimea maximă a link-ul tinde la zero. În cazul în care, în acest caz, există o secvență de Llom poligonală limită finită lungimi. independent de metoda de divizare a curbei, atunci curba este numită rectifica, iar valoarea acestei limite se numește lungimea curbei AB.
# 9; 13.3.2. Lungimea curbei în coordonate carteziene. Să presupunem acum că curba AB - graficul funcției curba y = f (x). având un derivat continuu. Apoi, punctul M i are coordonatele (x i. F (x i)). Unitatea M i -1m i are o lungime. Funcția y = f (x) în intervalul [x i -1x i] îndeplinește condițiile Teoremei Lagrange, totuși există un punct astfel încât. Având în vedere această unitate de lungime M i -1m i fie egal. întreaga lungime a poligonului -. Ultima sumă - suma integrală pentru integralei. și, din cauza continuității integrandul, tinde să-l la. Astfel, lungimea curbei definită de ecuația carteziană y = f (x) ,. Acesta este dat de Eq.
# 9; Exemplu: Găsiți lungimea segmentului de parabolei y = x 2 dintr-un punct A (0,0) la punctul B (2,4).
# 9; Soluție :. asa.
# 9; 3.3.3. Curba este dată parametric. Înlocuiți variabila x la t variabila. Din moment. atunci. Astfel, lungimea curbei definită parametric definită formula.
# 9; De exemplu: găsi lungimea porțiunii de circumferință de scanare corespunzătoare o rotire a firului.
# 9; Soluție: Curba este definită de ecuațiile.
# 9; 13.3.4. Curba dată în coordonate polare. Atunci când curba este dată de ecuația. Este ușor de redus la cea anterioară. Din moment. apoi, considerând unghiul polar ca parametru, obținem. prin urmare
.
# 9; Exemplu: Găsiți lungimea cardioide.
Soluție :. asa. Răspunsul este în mod clar lipsită de sens. Unde este greseala? Eroarea este faptul că modulul ratat semnul la rădăcina pătrată a. Soluția corectă este: Cu toate acestea, la fel ca în cazurile anterioare, este mai ușor să profite de simetrie a figurii, găsiți lungimea ramurii superioare și dublează:
# 9; 13.4.1. Calcularea volumului corpului de suprafața secțiunii transversale. Fie V corpul este dispus în spațiul dintre avioane x = a și x = b. și este cunoscut pentru zona secțiunii sale transversale S = S (x). Este necesar să se determine volumul corpului.
# 9; Rassechom acest avioane corp x = x0 = a. x = x1. x = x2. ..., x = x i -1. x = x i. ..., x = x n -1. x = x n = b în n straturi (a = x0
# 9; Exemplu: pentru a găsi volumul unui elipsoid, rezultând în rotația elipsei în jurul axei Ox.
# 9; Soluție: această problemă este mai ușor de rezolvat dacă aplicăm ecuația prin parametri elipsei. Arcul electric superior al elipsei obținut atunci când se trece de la 0 la t. în acest punct, punctul cel mai din stânga al elipsei corespunde T0 valoarea parametrului. egală. punct corespunde cu cea mai din dreapta valorii t k = 0. Formula pentru curba definită parametric devine. asa.
# 9; În cazul în care este necesar pentru a găsi volumul corpului, care se obține prin rotirea unui plan figura în jurul axei ABCD Oy. Susținem în mod diferit. Impartim corpul în cilindrul tubular cu raza de x. grosime. înălțime f (x). Volumul acestui cilindru este egală cu produsul dintre circumferința la grosimea și înălțimea f (x); însumarea acestor volume și trecerea la limita. Obținem.
# 9; 13.4.3. corp volum, obținut atunci când se rotește sectorul delimitat de curba și razele și două polare. in jurul axei polare este conform formulei.
# 9; Exemplu: pentru a găsi volumul unui torus obținut prin rotirea unui cerc în jurul axei polare.
Soluție :.
# 9; Suprafața de rotație formată prin rotirea în jurul curbei diferențiabilă axa Ox este definită prin formulele (în funcție de modul de definire a unei curbe)
(- circumferința inelului - lățimea acestuia).
# 9; Exemplu: zona de căutare Torus formate de un cerc în jurul O x axa de rotatie.
# 9; Soluție :.