analiza matematică

câmp potențial. Dacă câmpul vectorial, atunci aceasta se numește potențial câmp scalar și astfel potențialul său. Cel mai cunoscut exemplu de astfel de corespondență este câmpul electric având o intensitate, în care - potențialul de câmp electric. Mai puțin în formula este legată de alegerea istorică a direcției vectorului de tensiune de la plus la minus, atunci când a fost capabil de a freca blana de chihlimbar, dar nu știu cum să-l descrie matematic.

Exemplul 1. Un studiu al câmpului potențial.

Condițiile câmpului potențial. Lăsați un câmp scalar, iar această funcție este de două ori continuu diferențiabilă. Reamintim că, în acest caz, derivatele parțiale mixte de ordinul al doilea nu depinde de ordinea de diferențiere. Calculabil.

Este ușor de observat că identitatea zero, obținută în aceste condiții. Adică, în cazul în care câmpul este potențial, ea.

Exemplul 2. Testarea câmpului potențial.

Calcularea potențialului câmpului vectorial. Dacă eram convinși că un câmp de potențial, adică rotorul său este zero, este de interes pentru a calcula potențialul acestui domeniu. Pentru aceasta, considerăm o linie integrală în acest vector este: unde A și B - punctele inițiale și finale ale curbei. Deoarece produsul scalar al vectorilor și este o funcții diferențiale totale. Prin urmare, proprietățile unei linii integrale rezultă că. Semnificația formulei se obține că domeniul de lucru pentru materialul se deplasează de la punctul A la B nu depinde de calea de integrare, dar numai pe punctele inițiale și finale, mai precis, diferența de potențial la aceste puncte. Conceptul de diferența de potențial este bine cunoscut în fizica. Pentru a calcula potențialul de câmp la un punct arbitrar în inițial selectați punctul A de la care începe numărătoarea inversă (în fizica de multe ori - punctul de la infinit). Apoi. Deoarece integrala nu depinde de calea integrării, atunci vom lua ca este convenabil, mai întâi paralelă cu axa 0x, apoi paralel cu 0Y 0Z în cele din urmă paralel. Notând, obținem:

Aici - componentele câmpului vectorial. Deoarece alegerea este punctul de pornire arbitrar, câmpul potențial este definit până la o constantă arbitrară, care este determinată de considerente fizice.

Exemplul 3. Calcularea capacității câmpului vectorial.