algebra liniara
Capitolul 5. Teoria elementară a operatorilor liniari (continuare)
5.3. operatorul adjoint
Reamintim că, în spațiul Euclidian, produsul scalar al vectorilor
Definiția. În cazul în care există un operator B, și că, pentru oricare din spațiu euclidian E este adevărat. atunci operatorul B se numește Adjoint A și este notat cu A *:
Teorema. În cazul în care A - operatorul linie în spațiu euclidian E și A - matricea sa în unele baze ortonormală în E, atunci operatorul are doar operatorul conjugat, matricea operatorului Adjoint în aceeași bază - este matricea A T.
Aceasta demonstrează teorema într-o conferință.
Operatorul Primer.Rassmotrim spațiu de întoarcere U j R j 2 la un unghi în raport cu originea invers acelor de ceasornic:
Ie Operatorul adjoint operatorul spațiu de întoarcere R 2 printr-un unghi j în raport cu originea invers acelor de ceasornic - spațiul R 2 printr-un unghi de rotație al operatorului - j în raport cu originea invers acelor de ceasornic.
Operatorii Matrix de a porni unghiul și unghiul j - j au, respectiv, o:
Este usor de demonstrat (într-o conferință sa dovedit) următoarele proprietăți ale operatorului Adjoint:- care cuplat la un operatru liniar - operator liniar;
- polinomul caracteristic al operatorului și
Definiția. În cazul în care operatorul liniar A. acționează în spațiu euclidian E, astfel încât pentru oricare dintre E și corect. atunci operatorul A este operatorul autoadjunct.
Exemplu. operatorul P2 - spațiul de proiecție pentru un subspatiu R3 R2 în paralel cu vectorul :.
După cum sa arătat mai sus, operatorul P2 matrice într-o bază ortonormală naturală
și anume - operatorul P2 - un operator autoadjunct.
Se poate observa că matricea P2 P2 operatorului - matrice simetrică.
Este ușor să dovedească următoarele proprietăți ale unui operator autoadjunct:- valoarea operatorilor autoadjuncți - operatorul Adjoint;
- În cazul în care operatorul A este operatorul autoadjunct, operatorul - de asemenea, operatorul autoadjunct (- un număr real).
Se poate arăta (prelegerea nu este dovedit) că operatorul autoadjunct are propria baza sa ortonormală.
Deoarece A = A *, atunci operatorul Adjoint matrice - matrice simetrică. Următoarea teoremă deține.
Teorema. Matricea unui operator autoadjunct în baza corespunzătoare are forma diagonală.
Este clar că, pentru a conduce un autoadjunct operator de matrice la forma diagonală pentru a găsi și matricea diagonală autovalorile în care valorile proprii diagonale poziționate.
Dacă doriți să scrie o expresie pentru reducerea unei matrice la forma diagonală, trebuie să găsim în continuare vectorii proprii, scrie matricea de tranziție C la bază de capital (o matrice ale cărei coloane sunt coordonatele vectorilor proprii), găsiți matricea inversă C -1, și apoi - egalitate, care leagă forma diagonală a matricei operatorului în baza corespunzătoare matricea operatorului într-un anumit mod.
Astfel putem descrie algoritmul de a reduce matricea operatorului liniar formă diagonală.
Acesta constă în următoarele:- matrice, operatorul înregistrează A în baza inițială;
- Scriem ecuația caracteristică și se calculează rădăcinile;
- găsi baza corespunzătoare a operatorului (dacă există);
- Noi scriem C matrice ale cărei coloane sunt vectorii proprii de coordonate (Vectori eigenbasis);
- formula C -1 AC diagonal formă find operator de matrice - matricea operatorului eigenbasis.