al cincilea postulat Rezumat
În introducerea la cartea sa „noi începuturi geometrie“ Lobachevsky afirmă cu emfază: [29]
Toată lumea știe că în teoria geometriei paralelă a rămas încă imperfectă. efort Vain deoarece Euclid, în decursul a două mii de ani, ma făcut să bănuiesc că cele mai multe concepte nu este încă adevărul este, au vrut să dovedească și să verifice că, la fel ca alte legi fizice, poate doar experiență, ceea ce, de exemplu, observații astronomice.<…> Concluzia principală <…> admite existența geometriei într-un context mai larg, mai degrabă decât ca ne-a oferit prima lui Euclid. În acest spațiu, am dat un nume științific al geometriei imaginare, în cazul în care un caz special include geometria și utilizate în mod obișnuit.
La sfârșitul secolului al XX-XIX-lea, prima matematică (Bernhard Riemann, William Kingdon Clifford), apoi fizica (Teoria generală a relativității, Einstein), în cele din urmă a pus capăt dogma geometriei euclidiene spațiului fizic.
6. Dovada independenței cincea postulatului
Pentru a demonstra consistența noua geometrie sau Lobachevsky, Bolyai și nici nu a reușit să - atunci matematica încă nu are mijloacele de a face acest lucru. Doar 40 de ani mai târziu a venit modelul Klein (1871) și modelul Poincare (1882), punerea în aplicare a geometriei Lobachevsky axiomatica pe baza geometriei euclidiene. Aceste modele dovedesc în mod concludent că negarea axiomei nu contrazice restul axiomele geometriei; acest lucru implică faptul că V postulat este independentă de celelalte axiomele și să dovedească imposibilă.