Vectori și operații lineare asupra vectorilor

1. Determinarea vectorului (vectorul geometric) este direcționat segment de linie, adică segmentul având o lungime predeterminată și direcție.

Vectorii sunt considerate pe un plan (bidimensional) și în spațiu (tridimensional). Și, de fapt, în ambele cazuri, vectorul este determinată de o pereche ordonată de puncte, primul dintre care - la începutul vectorului, celălalt - sfârșitul vectorului. Pentru vectori, sunt utilizate simboluri. . . . Dacă și în consecință începutul și sfârșitul vectorului, este indicat acest vector (Fig. 1). Vector cu punctul de pornire și se termină cu punct se numește vectorul opus.

Lungimea sau modulul de vector este un număr egal cu lungimea segmentului. reprezentat de un vector. Vectorii și au același modul.

Vectorul zero, este un vector, începutul și sfârșitul este același. vectorul Nul este notat. Modul vector de zero este zero.

versorul este un vector a cărui lungime este egală cu unu. Versorul a cărei direcție coincide cu direcția vectorului. Se numește versorul și vectorul este desemnat.

Doi vectori nenuli spus să fie egale. dacă una dintre ele prin transfer paralel pot fi combinate cu cealaltă, astfel încât să se potrivească începuturile și capete (Figura 2).

Din punctul de vedere al vectorului algebrei vectoriale nu se schimbă atunci când este o deplasare paralelă menținând în același timp lungimea și direcția sa, adică punctul de aplicare al vectorului poate fi plasat în orice punct al spațiului. Astfel de vectori sunt numite liberi.

operații liniare cu vectori se numesc operații de adunare, scădere și multiplicarea unui vector de un număr.

Adăugarea a doi vectori pot fi efectuate folosind regula paralelogramului. Dacă amâna vectorii și totalul punctelor și de a construi pe ele ca pe laturile paralelogramului, vectorul. provin dintr-o origine comună în vârful opus paralelogramului este suma dintre ele (Fig. 3).

Pentru a construi vectorul sumă nu este necesară pentru a construi întreaga paralelogram. este suficient să se construiască un triunghi. Formulați reguli pentru determinarea valorii poate fi înlocuită cu mai convenabil.

Suma a doi vectori este vectorul care leagă originea primului termen al vectorului cu al doilea capăt cu condiția ca începutul celui de al doilea termen este aliniat cu primul capăt (fig. 4).

Este clar că rezultatul plus nu depinde în cazul în care în spațiul superior al primului termen: schimbarea în întregul său triunghi este transferat în paralel. Această regulă se numește vector de regula plus triunghi.

Adăugarea de mulți vectori. . . . secvențial efectuat: pliat mai întâi primul vector cu al doilea. atunci suma lor se adaugă la al treilea vector. apoi se adaugă la vectorul sumă rezultată etc. (Fig. 5).

Este imediat evident că a obținut următoarea regulă pentru adăugarea vector.

regula poligonului. Suma mai multor vectori este vectorul care leagă originea primului termen al vectorului cu capătul acesteia din urmă, cu condiția ca începutul fiecărui vector ulterior este aliniat cu capătul anterior (Fig. 6).

Legile plus vector:

Diferența dintre cei doi vectori se numește vector. care atunci când sunt combinate cu vectorul permite vectorului (Fig. 7).

Rețineți că, dacă vectorii și. amânat dintr-o origine comună, se poate construi un paralelogram, una de-a lungul diagonalelor este suma vectorilor, iar cealaltă diferența.

Produsul a numărului de vector non-zero, este un vector (sau), a cărui lungime este egală. și direcția coincide cu direcția vectorului. iar la fața lui la.

De exemplu, dacă un anumit vector. vectorii și au aspectul.

Legile multiplicarea unui vector de un număr:

Din definiția vectorului produsului printr-un număr, rezultă că orice vector poate fi reprezentat ca un produs vectorial al unui modul pe vectorul unitate al vectorului.

Dacă vectorii de mai sus. . . efectua operațiile de adunare, scădere, înmulțire și printr-un număr, rezultatul oricărui număr de aceste acțiuni se vor transforma specii-vectori

care este o combinație liniară a vectorilor originali.

Vectorii. . . a declarat a fi liniar dependent (dependentă liniar), în cazul în care relația dintre următoarele:

în cazul în care coeficienții scalare nu sunt toate la zero.

Dacă toți coeficienții sunt zero, ecuația (2) vor fi îndeplinite, dar nu va stabili relația dintre vectori. Despre vectori. . . Ei spun că acestea sunt liniar independente.

Conceptul de independență liniară între vectorii utilizați pentru dispunerea reciprocă a caracteristicilor algebrice vectorilor în spațiu.

Definiție 2 Doi vectori nenuli sunt denumite coliniare (desemnat), în cazul în care se află pe aceeași linie sau linii paralele.

vectori coliniari pot fi îndreptate în mod identic (ca vectori) sau direcții opuse (vectori (Figura 8)).

Teorema 1. doi vectori sunt liniar dependenți dacă și numai dacă acestea sunt coliniare.

Corolar. În cazul în care doi vectori non-coliniare ale egalității

atunci ambele trebuie să fie coeficient zero.

Definiție 3 vectori nenuli sunt numite coplanare. dacă se află în același plan sau în planuri paralele.

Orice doi vectori coplanare întotdeauna. și trei vectori pot sau nu pot fi coplanare.

Teorema 2 Cei trei vectori sunt liniar dependenți dacă și numai dacă acestea sunt coplanare.

Introducerea vectorului ca o combinație liniară a vectorilor și (3) este o descompunere pe un plan a doi vectori noncollinear.

Să considerăm un vector arbitrar și trei vectori coplanari.

Teorema 3. Fiecare vector descompus în mod unic în trei vectori necoplanare. și anume Este reprezentat ca

Din (4) rezultă că orice vector în spațiul de patru liniar dependente.

Noncoplanar ordonat triplu (liniar independent) vectorii de bază numit vector într-o multitudine de spațiu geometric. Coeficienții scalar se determină în mod unic și se numește coordonatele în raport cu baza vectorului.

In mod similar: noncollinear pereche ordonata (liniar independente) vectorii de bază formează vectori geometrici în plan. Coeficienții din (4) sunt coordonatele vectorului în raport cu baza.