Spațiul sistemului omogen de ecuații liniare „Algebra liniara

Revendicarea 5. Spațiul soluție a sistemului omogen de ecuații liniare.

În primul rând, observăm că sistemul omogen de ecuații liniare este întotdeauna colaborare, deoarece există întotdeauna o soluție de zero - zero, coloană necunoscută.

Teorema. Setul de soluții ale sistemului omogen de ecuații liniare este un spațiu vectorial.

Dovada. Să - sistem omogen de m ecuații liniare în n necunoscute. Apoi soluția sistemului este coloana necunoscutele X, pe care le considerăm un vector din înălțimea spațiului coloanei n :, unde K- coeficienți de câmp ai sistemului.

Astfel, setul de soluții este un set de coloane din spațiul coloanei, care este ecuația matrice adevărată.

Așa cum am văzut mai devreme, acest set este nucleul matricei A:

Știm deja că matricea kernel-ului este un subspațiu vectorial al spațiului coloană, și, prin urmare, este ea însăși un spațiu vectorial.

Notă. În viitor, setul de soluții ale sistemului omogen de ecuații liniare, vom numi spațiul soluțiilor sistemului omogen de ecuații liniare și etichetare.

Teorema (Pe dimensiunea spațiului soluție a sistemului omogen de ecuații liniare.)

Să - sistem omogen de m ecuații liniare în n necunoscute și - spațiu al soluțiilor sale. atunci

In caz contrar, dimensiunea spațiului soluție a sistemului omogen de ecuații liniare este egal cu numărul de necunoscute ale sistemului minus rangul de matricea sa.

Pentru concizie. Apoi, teorema afirmă că egalitatea:

Dovada. Conform teoremei de kernel liniar și afișarea imaginii (vezi. Curs 26, p.4)

sau în notația noastră: și

ceea ce implică faptul că

În același curs 26, p.4. am constatat că

În Curs 27 p.2. Sa demonstrat că dimensiunea deschiderii liniară a vectorilor este egal cu rangul acestui sistem, și anume în notația noastră:

Potrivit rangul teoremei matricei, rangul sistemului de coloane egal cu rangul acestei matrice:

Rezultă că

Să - baza spațiului. atunci

- durata lineară a sistemului de vectori de bază ale spațiului.

Să ne amintim că orice spațiu vectorial poate fi exprimat ca o deschidere liniară a sistemului vectorilor de bază.

Definiția. Baza spațiului soluție a sistemului omogen de ecuații liniare se numește sistem fundamental al deciziilor sale.

Deoarece orice vector al spațiului vectorial poate fi extins în baza sa, orice soluție a sistemului omogen poate fi reprezentat ca o combinație liniară a sistemului său fundamental de soluții:

Definiția. Soluția sistemului, scris sub forma

unde - soluțiile fundamentale ale sistemului, și - constantele arbitrare (scalari de câmp), se numește o soluție generală.

Exemplu. Rezolva sistemul :.

Decizie. Aici, având în vedere sistemul de ecuații una cu două necunoscute. matricea sistemului are forma și gradul său.

Apoi, dimensiunea spațiului de soluție.

În consecință, baza spațiului soluțiilor sistemului (sau a unui alt sistem fundamental de soluții) constă dintr-o soluție nenulă a sistemului:

Rețineți că nu există vectori zero în nici o bază, așa.

În acest caz, o soluție diferită de zero este ușor de a găsi selecția, de exemplu, că coloana de decizie :.

Prin urmare, mai multe soluții ale acestui sistem poate fi scris ca un interval liniar al vectorului bază :.

Soluția generală a acestui sistem este:

de unde - orice număr real.

Ne-am asumat în mod tacit că domeniul coeficienților sistemului este domeniul numerelor reale.

Notă. Este ușor de a valida. Substituind în sistem, obținem, și anume ecuația este transformată într-o adevărată egalitate numerică pentru toate numerele reale, după cum este necesar.