Spațiul dublu și baza acestuia
Să - spațiu vectorial liniar peste câmp. .
Def. Funcția numerică y = f (u) și argumentele valorilor câmpului se numește o funcție liniară pe spațiul. în cazul în care :;
Def. Spațiul funcțiilor liniare pe un spațiu vectorial numit spațiul dublu și denota.
Funcțiile spațiului. covectors Chemat și exprimare de sine
Def. vector Covector u și f sunt numite ortogonale între ele, dacă
Funcțională numit coordonatei bază funcționalele <>. Pentru ei (1). Ecuația (1) sunt numite biorthogonality relații, iar sistemul vectorilor E =<> și F =<>, satisfăcând (1) -biortogonalnymi care sunt desemnate ca E F.
Teorema. Coordonarea funcțională. liniar independent și formează o bază de.
Corolar. Orice bază a spațiului E suzestvuet, și numai unul, baza spațiului F. astfel încât E F.
Def. Bazele și F =<>, construit din coordonate baza funcțională <>. În. Acesta a numit baza dublă pentru E.
Complementul ortogonală a spațiului dublu
Def. Să fie un subspațiu arbitrar al unui spațiu vectorial. O pluralitate de covectors. care sunt ortogonale toți vectorii. Se numește complementul ortogonal al spațiului și este notat cu. .
Cu alte cuvinte, complementul ortogonal - mulțimea tuturor funcțiilor liniare ale. dispar pe vectori de la
În plus, complementul ortogonal.
Teorema. complement ortogonal al unui subspațiu. în timp ce
Dovada. Să - covector arbitrar din complementul ortogonal. Să ne arate că f covector ortogonală tuturor vectorilor de echivalent fvektoram ortogonală în orice bază.
Să presupunem că este o bază în timp pentru descompunerea oricărui vector. și având în vedere liniaritatea a lui f este adevărat
astfel covector arbitrar o soluție de (1). Pentru o anumită bază cu vectorii de bază ale formei (1) este echivalent cu sistemul de ecuații algebrice liniare: (2).
Deoarece vectorii LNZ, rangul matricei sistemului (2) este egal cu k. așa cum se cunoaște din algebra liniară că setul de soluții (2) formează un spațiu vectorial de dimensiune n-k. Aceasta echivalează cu afirmația.
Să fie o cartografiere liniar: →.
Def. Cartografierea numit dual display pentru A, dacă este cazul, și pentru orice relație mai jos :.
Teorema. Pentru orice liniar dat de cartografiere O cartografiere conjugat există, liniar și unic.
Dokvo. Noi construim o mapare ce satisface condiția de afișare A. specificat Pentru a seta afișajul. este necesar să se specifice funcționalitatea corespunzătoare pentru fiecare funcționalitate. g este imaginea sub afișare. Dar noi trebuie să cerem funcționalitatea of.-Acest lucru înseamnă că pentru a determina efectul său asupra unui vector arbitrar. Definim o regulă această acțiune. Având în vedere relația definitorie pentru afișare duală avem :.
Din aceasta rezultă că, pentru un anumit efect funcțional dorit pe vectorul arbitrar funcțional este determinată după cum urmează. O primă cartografiere se aplică: → a vectorului. rezultând în imaginea sa - vector. Apoi vom calcula valoarea funcționalitatea specificată și pentru a obține valoarea vectorului
astfel mapping conjugat este definit ca o compoziție. pentru că sunt îndeplinite aceste condiții :. atunci putem spune că afișajul va fi liniară.
Să - două hărți, ceea ce este adevărat. Apoi, pentru toți. Rezultă că <( |u>= 0. Reparăm g și u se va schimba. Apoi, elementul (. Ca o funcție liniară de a accepta doar valorile zero, și, prin urmare, este zero. Prin urmare. Aceasta demonstrează unicitatea și completează demonstrația teoremei.
Teorema. Fie A: → - harta E lineară și H - și bazele spațiilor. respectiv - baze biorthogonal și spațiu. Apoi, în cazul în care harta A în bazele E și H este o matrice A, conjugatul afișarea unei baze biorthogonal și are o matrice.