spații euclidiene

Definiția. In spatiul V liniar este setat la produsul scalar al vectorilor, în cazul în care există o regulă care oricare doi vectori și numărul de potrivire. îndeplinește următoarele patru axiome:

Din axiome următoarele proprietăți ale produsului scalar:

Definiția. Spațiul liniar pe care un produs scalar este numit spațiu Euclidian. n spațiu Euclidian -dimensional indicat.

Când în spațiul n-dimensional poate fi determinat înmulțirea scalară, adică vă puteți transforma într-un spațiu euclidian.

Exemplu. Spațiu. pe care un produs scalar al vectorilor și formula

este euclidian. Efectuarea axiome evidente.

Din cursul școlar știm că vectorii de egalitatea:

Aceste ecuații ne sugerează ca un mod rezonabil de a determina (n> 3) conceptul unității vectorului și unghiul dintre vectori.

Definiția. Vectorilor în unitatea de vector și cosinusul unghiului dintre vectorii și se determină prin următoarele formule:

pentru că . trebuie să dovedească faptul că. sau.

Acest lucru rezultă din următoarea inegalitate:

Cauchy - Schwarz: Pentru orice doi vectori și inegalitate.

Dovada. Luăm un număr și compoziția vectorului. Apoi denota. . . De atunci discriminantul polinomului pătratic care . . Înlocuirea produselor scalare, obținem. QED.

Dovada. . Preluați rădăcina de ambele părți ale inegalității, obținem

Definiția. Vectorii numit ortogonale. dacă

vectori ortogonali pentru desemnare. În cazul ortogonale înseamnă perpendiculare.

Proprietățile vectori ortogonali:

5. în cazul în care. teorema lui Pitagora

Definiția. Sistemul ortogonală Vector de vectori. în cazul în care este perpendiculară pe orice sistem de vector.

Teorema. Dacă nenul ortogonale vector sistem liniar independent de vectori. sistemul este, de asemenea, liniar independent.

Dovada. Să presupunem că sistemul este dependent liniar, adică,

Din moment ce - sistem liniar independent, atunci. Multiplicând (1) pe produsul scalar. Obținem. deoarece . atunci. O contradicție, de aceea sistemul de vectori sunt liniar independenți.

Definiția. sistem de vector se numește ortogonal. în cazul în care toți vectorii în ea sunt reciproc ortogonali.

Teorema. Orice sistem ortogonal nenulă vectorilor este liniar independent.

Dovada. Având în vedere un sistem de vectori ortogonali. și în care atunci când. Să presupunem contrariul: există. că egalitatea. Înmulțind produsul interior. Noi primim. pentru că . atunci. O contradicție.

Vom descrie procesul de tranziție de la un sistem liniar independent de vectori la un sistem ortogonal de vectori.

Definiția. Ortogonalizarea vectorilor se referă la metoda de tranziție de la orice sistem de vectori liniar independenți ai unui sistem de vectori ortogonali nenuli.

2. Pune. Am găsit coeficientul astfel încât.

Orice spațiu euclidian are baze ortogonale.

Sistemul ortonormal vectorilor

Definiția. Sistemul ortogonal de vectori este numit ortonormal. dacă lungimea oricărui vector este egal cu unu.

Dacă un sistem ortogonal de vectori nu conține vectori de zero, sistemul vector este ortonormal.

În orice spațiu euclidian există o bază ortonormală.